 |
17.8. Гидродинамика вязкой жидкости. Силы внутреннего трения. Коэффициент вязкости. Стационарное течение вязкой жидкости. Уравнение неразрывности. Течение по трубе. Формула Пуазейля
|
|
|
|
17. 8. Гидродинамика вязкой жидкости. Силы внутреннего трения. Коэффициент вязкости. Стационарное течение вязкой жидкости. Уравнение неразрывности. Течение по трубе. Формула Пуазейля
Реальные жидкости и газы в большей или меньшей степени обладают вязкостью или внутреннем трением. Внутренне трение (вязкость) жидкостей и газов приводит к падению давления вдоль трубы, по которой течет жидкость или газ. Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, выберем плоский слой жидкости, заключенный между двумя пластинами, одна из которых приводится в движение с постоянной скоростью v. Вторая - покоится. При этом, на каждую из пластин, со стороны жидкости действует сила F, которую можно измерить. Изменяя скорость движущейся пластины, ее площадь и расстояние между пластинами, можно установить, что сила F прямо пропорциональна скорости пластины, ее площади и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами. Эта сила оказывается зависящей от рода жидкости, находящейся между пластинами
, (17. 70)
где S - площадь пластины;
vo- скорость пластины;
d - расстояние между пластинами;
h - коэффициент пропорциональности (вязкости), зависящий от рода жидкости и ее состояния (например, от температуры).
При движении в жидкости (или газе) двух пластин относительно друг друга, между ними возникает взаимодействие, которое осуществляется через жидкость, заключенную между ними, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если исследовать скорость частиц жидкости в различных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении перпендикулярном к пластинам по линейному закону
|
|
|
. (17. 71)
Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и они сами. Из формулы видно, что vo/d ~ dv/dz величина, которая определяет быстроту изменения скорости в направлении z, или модуль градиента скорости. Тогда
. (17. 72)
Рассмотрим стационарное движение вязкой жидкости по трубе. Для этого мысленно выделим цилиндрический слой жидкости, расположенный вдоль оси трубы длиной l и радиусом r.
С внешней стороны на поверхность рассматриваемого цилиндра действует сила, которая уравновешивает разность давления на торцах цилиндра (так как v = const), т. е. должно выполняться условие
или
(17. 73)
Из уравнения (17. 73)
. (17. 74)
Интегрируя выражение (17. 74), получим
. (17. 75)
У стенок трубы v = 0, следовательно
. (17. 76)
Окончательно имеем
. (17. 77)
Таким образом, скорость частиц жидкости по сечению трубы увеличивается от нуля, у стенок трубы, до
(17. 78)
у ее оси.
Зная скорость можно подсчитать количество жидкости, протекающей через все сечение трубы. Для этого необходимо разбить сечение трубы на тонкие кольца радиусом r и шириной dr. Через площадь такого кольца dS = 2pr∙ dr в единицу времени протекает объем жидкости 
, а через все сечение трубы
. (17. 79)
Эта формула была получена Пуазейлем. По ней можно вычислять коэффициент вязкости жидкости, зная скорость ее истечения.
Течение жидкости (газа) можно разделить на два вида:
1) ламинарное (слоистое) течение. В этом случае жидкость как бы разделяется на слои, скользящие относительно друг друга, не перемешиваясь;
2) турбулентное (вихревое) течение. В этом случае происходит энергичное перемешивание жидкости.
Ламинарное течение жидкости течение стационарное.
|
|
|
При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте изменяется хаотично, течение нестационарное.
Характер течения жидкости определяется числом Рейнольдса
, (17. 80)
где r - плотность жидкости (газа);
v - средняя по сечению скорость движения жидкости;
l - характерный для поперечного сечения размер (сторона квадрата, радиус круглого сечения и т. д. );
h - коэффициент вязкости.
При малом числе Рейнольдса течение жидкости ламинарное. Начиная с некоторого его значения, называемого критическим, течение жидкости приобретает турбулентный характер.
Если различным течениям жидкости (газа) соответствует одно и то же число Рейнольдса, то характер движения жидкости даже в трубах разных сечений будет один и тот же. Таким образом, число Рейнольдса является критерием подобия течения жидкостей (газов) в трубах.
В формулу для определения числа Рейнольдса входят коэффициент вязкости h и плотность r, характеризующие свойства жидкости.
Коэффициент вязкости h называют динамической вязкостью. Отношение динамической вязкости к плотности жидкости или газа называется кинематической вязкостью
(17. 81)
Кинематическая вязкость n лучше, чем динамическая вязкость, характеризует роль вязкости при прочих равных условиях. Так, например, динамическая вязкость для воды при 0 С почти в 100 раз больше, чем для воздуха. Кинематическая вязкость - в 10 раз меньше. Следовательно, при прочих равных условиях вязкость сильнее будет влиять на характер течения воздуха, чем воды.
С учетом кинематической вязкости число Рейнольдса можно вычислить по формуле
. (17. 82)
Если различным течениям соответствует одно и тоже число Рейнольдса, то характер этих течений в трубах с разными поперечными сечениями будет один и тот же.
Таким образом, число Рейнольдса является критерием подобия течения жидкостей или газов в трубах.
Вязкость жидкостей и газов определяют вискозиметрами.
В условиях установившегося ламинарного течения при постоянной температуре Т вязкость газов и нормальных жидкостей (так называемых ньютоновских жидкостей) постоянная величина, не зависящая от градиента скорости.
|
|
|
Расплавленные металлы имеют вязкость того же порядка, что и обычные жидкости.
Особыми вязкостными свойствами обладает жидкий гелий. При температуре 2, 172 К он переходит в сверхтекучее состояние, в котором вязкость равна нулю.
Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость движением и взаимодействием молекул.
В газах расстояние между молекулами существенно больше радиуса действия межмолекулярных сил, поэтому вязкость газов - следствие хаотичного (теплового) движения молекул, в результате которого происходит постоянный обмен молекулами между движущимися друг относительно друга слоями газа. Это приводит к переносу от слоя к слою определенного количества движения, в результате чего медленные слои ускоряются, а более быстрые замедляются. Работа внешней силы F, уравновешивающей вязкое сопротивление и поддерживающей установившееся течение, полностью переходит в теплоту.
Вязкость газов не зависит от его плотности (давления), так как при сжатии газа общее количество молекул, переходящих из слоя в слой, увеличивается, но зато каждая молекула менее глубоко проникает в соседний слой и переносит меньшее количество движения (закон Максвелла).
Так как с повышением температуры Т возрастает средняя скорость теплового движения молекул газа (несколько возрастает средняя длина свободного пробега молекул), то вязкость газов увеличивается пропорционально Т1/2. Для очень разряженных газов понятие вязкости теряет смысл.
В жидкостях, где расстояние между молекулами много меньше, чем в газах, вязкость обусловлена в первую очередь межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул. В жидкости молекула может проникнуть в соседний слой лишь при образовании в нем полости, достаточной для перехода туда молекулы. На образование полости (на " рыхление" жидкости) расходуется так называемая энергия активации вязкого течения. Энергия активации уменьшается с ростом температуры Т и понижением давления р. В этом состоит одна из причин резкого снижения вязкости жидкостей с повышением температуры и повышения ее при высоких р. При повышении р до нескольких тысяч атмосфер h увеличивается в десятки и сотни раз.
|
|
|
Строгой теории вязкости жидкостей еще нет, на практике широко применяют ряд эмпирических и полуэмпирических формул, достаточно хорошо отражающих зависимость вязкости отдельных классов жидкостей и растворов от температуры Т, давления р и химического состава.
Вязкость жидкостей зависит от химической структуры молекул. Вязкость сходных химических соединений (насыщенные углеводороды, спирты, органические кислоты и т. д. ) возрастает с возрастанием молекулярной массы.
Высокая вязкость смазочных масел объясняется наличием циклических молекул.
Смесь не реагирующих друг с другом жидкостей с различными вязкостями имеет среднее значение вязкости.
Если же при смешивании образуется новое химическое соединение, то вязкость смеси может быть в несколько десятков раз больше, чем вязкость исходных жидкостей (на измерении вязкости жидких веществ основан один из методов физико-химического анализа).
Возникновение в дисперсных системах или растворах полимеров пространственных структур, образуемых сцеплением частиц или макромолекул, вызывает резкое повышение вязкости. При течении " структурированной" жидкости работа внешней силы затрачивается не только на преодоление истинной (ньтоновской) вязкости, но и на разрушение структуры.
17. 9. Жидкие кристаллы
|
|
|
