Работа №7. Оптимизация замены оборудования на предприятии

 

Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров и т. п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью N лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход R (T) (T – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(T), которая также зависит от возраста T, и купить новое оборудование за цену P. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все N лет был максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял T =0 лет.

Исходными данными в задаче являются доход r (t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S (t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования T ₀.

Таблица 7.1

T			…	N
R	R (0)	R (1)	…	R (n)
S	S (0)	S (1)	…	S (N)

 

При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как N -шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на N -шагов.

Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с K -го по N -й годы.

Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. K -го года.

Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (K = N), то на K -м шаге неизвестно, в какие годы с первого по (K – 1)-й должна осуществляться замена и соответственно неизвестен возраст оборудования к началу K -го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим T. На величину T накладывается следующее ограничение:

(7.1)

Выражение (7.1) свидетельствует о том, что T не может превышать возраст оборудования за (K – 1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет T0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу K -го года, если замена произошла в начале предыдущего (K – 1)-го года).

Таким образом, переменная T в данной задаче является переменной состояния системы на K -м шаге.

Переменной управления на K -м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (C) или заменить (З) оборудование в начале K -го года:

Функцию Беллмана F _k(T) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с K -го по N -й, если к началу K -го возраст оборудования составлял T лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале K -го года оборудование сохраняется, то к началу (K + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет T +1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (K + 1)-го года возраста T ₁ = 1 год.

На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых – непосредственного результата управления и его последствий.

Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого T лет, то доход за этот год составит R (T). К началу (K + 1)-го года возраст оборудования достигнет (T + 1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (K + 1)-го по N -й) составит F _k+1(T +1). Если в начале K -го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста T лет по цене S (T), приобретается новое за P единиц, а его эксплуатация в течение K -го года нового оборудования принесет прибыль R (0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (K + 1)-го по N -й максимально возможный доход будет F _k+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид

(7.2)

Функция F _k(T) вычисляется на каждом шаге управления для всех . Управление, при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.

Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n -й год:

(7.3)

Значения функции F _n(T), определяемые F _n-1(T), F _n-2(T) вплоть до F ₁(T). F ₁(T ₀) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по N -й и т. д. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.

Пример. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r (t) и остаточная стоимость S (t) в зависимости от возраста заданы табл. 27, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

Таблица 7.2

T
R (t)
S (T)

Решение. 1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг. K = 6. Для первого шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6. Функциональное управление имеет вид (31).

2-й шаг. K = 5. Для второго шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5. Функциональное уравнение имеет вид

3-й шаг. K = 4.

4-й шаг. K = 3.

5-й шаг. K = 2.

6-й шаг. K = 1.

2-й этап. Безусловная оптимизация.

Безусловная оптимизация начинается с шага при K = 1. Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F ₁(1) = 37. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: T ₂ = T ₁ + 1 = 1 + 1 = 2. Безусловно, оптимальное управление при K =2, Х ₂(2) = С, т. е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется.

К началу третьего года при k =3 возраст оборудования станет: T ₃ = T ₂ + 1 = 3. Безусловное оптимальное управление Х ₃(3) = З, т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо провести замену оборудования.

К началу четвертого года при K =4 возраст оборудования станет равен T ₄=1. Безусловное оптимальное управление Х ₄(1) = С.

Далее соответственно:

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.

Пример. Задачу нахождения кратчайшего пути можно применить для оптимизации затрат на оборудование в течение определенного времени. В этом году предприятию предстоит решить, приобрести ли новый дорогой станок с низкими первоначальными расходами на обслуживание или продолжать использовать приобретенный ранее станок с высокими расходами на обслуживание.

Данную задачу решаем в MicrosoftOfficeExcel (рис.7.1). Стоимостные параметры заданы в ячейках Н 2: Н 7. Предположим, что расходы составляют $ 1 600 000 на приобретение оборудования и $ 500 000 на его обслуживание в год приобретения; для каждого дополнительного года эксплуатации ежегодные затраты на обслуживание составляют $ 1 000000, $ 1 500 000 и $ 2 200 000. Для простоты предположим, что период планирования в модели составляет четыре года. Обозначим черезс расходы на приобретение нового оборудования в начале года j (j = 1, 2, 3, 4) и обслуживание его до начала года j (j = 2, 3, 4, 5). Если оборудование может работать только до начала года j, где j < 5, то в начале года j необходимо снова приобретать новое оборудование.

 

Рис. 7.1 - Исходные данные модели замены оборудования

 

Рассмотрим три возможных варианта поведения.

1) Приобретать новое оборудование в начале каждого года. Такая политика приведет к самым высоким расходам на приобретение и минимальным расходам на обслуживание. Общие расходы на приобретение и обслуживание в таком случае составят C 12 + C 23 + C 34 + C 45.

2) Приобрести новое оборудование только в начале первого года, а затем заниматься его ремонтом и обслуживанием в течение последующих лет. При такой политике суммарные расходы на приобретение будут минимальны, а расходы на обслуживание максимальны. Общие расходы на приобретение и обслуживание составят C 15.

3) Новое оборудование приобретается в начале 1 и 4 годов. Суммарные расходы составят C 14 + C 45.

Из всех возможных вариантов предприятие хочет выбрать вариант с минимальными суммарными затратами. Чтобы решить эту задачу, необходимо найти кратчайший путь (в данном случае — путь с минимальными затратами) из узла 1 в узел 5 для сети, показанной на рисунке 3.2. Каждый узел на кратчайшем пути означает замену оборудования в соответствующем году, т.е. в этом году необходимо приобрести новое оборудование.

Составим таблицу, где будут видны удельные затраты по покупке нового оборудования и его дальнейшего обслуживания (рис.7.2).

 

Рис.7.2 Нахождение удельных затрат по покупке нового оборудования и его дальнейшего обслуживание

 

В ячейках J 3: N 6 вычислены затраты на покупку и обслуживание станка, если он приобретен в одном году и эксплуатируется до начала другого указанного года, т.е.

- ячейка K 3= H 2+ H 4 (стоимость покупки + обслуживание со следующего года после покупки)

- ячейка L 3= K 3+ H 5 (удельные затраты +обслуживание 3 года) и т.д.

Теперь после расчета удельных затрат по каждому году, мы можем выяснить, когда лучше покупать новое оборудование и каковы будут наши затраты (рис.7.3).

 

Рис.7.3 Подготовительная таблица для расчета оптимальных закупок

 

Ячейки переменных решения с серым фоном в диапазоне C 10: G 14 соответствуют невозможным решениям с обратным ходом событий (например, приобретение станка в году 3 для использования в году 1). Начальный и конечный годы использования оборудования отмечены в строке 17 с помощью чисел 1 и -1. В ячейках C 3: G 7 содержится матрица связей между узлами, а в ячейках J 10: N 14 вычислены расходы для решений, записанных в ячейках C 10: G 14. Теперь при помощи надстройки «Поиск решения» мы выберем оптимальный вариант с минимальными затратами (рис.7.4).

 

Рис.7.4 Надстройка «Поиск решений»

 

В данной надстройке, как видно на рис. 7.4. мы назначаем целевую ячейку, т.е. ячейку О 15 (всего затрат на приобретение нового оборудования), которая должна иметь минимальное значение, изменяя ячейки С 10: G 14. Также мы устанавливаем некоторые ограничения:

Ячейки С 10: G 14 должны быть меньше либо равны ячейкам С 3: G 7. Покупка нового оборудования в данной модели должна быть меньше либо равна пропускная способности всех лет.

Ячейки С 16: G 16 должны быть равны ячейкам С 17: G 17. Всего количество покупок должно быть равно необходимому количеству покупок.

Задаём параметры в надстройке «Поиск решения» (рисунок 7.5).

 

Рис.7.5 Параметры надстройки «Поиск решения»

Рис. 7.6 – Результат выполнения работы

 

В данном случае оптимальной стратегией является приобретение нового станка в начале года 1, использование его в течение двух лет и замена в начале года 3 новым станком, который затем используется до начала года 5. При этом общие расходы за четыре года составят 6,2 млн. долл.

 

Варианты задания для выполнения работы

Вариант 1

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 2

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 3

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

Вариант 4

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 5

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

Вариант 6

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 7

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 8

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 9

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 10

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

Вариант 11

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 12

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 13

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 14

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

 

Вариант 15

T
R (T)
S (Т)
Стоимость Обслуживания	-

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: