Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Решение тренировочных заданий

Задача 1

Определить реакции связей балки, показанной на рисунке. В точке А балка имеет неподвижную шарнирную опору, в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. На балку действует силы Р=5 кн; пара сил с моментом М = 2 кнм, равномерно распределена нагрузка интенсивностью q = 1 кн/м. Все действующие силы и размеры показаны на рисунке

Рис.4.1.

Решение

1. Объектом равновесия является балка АВ. На нее действует плоская система сил, поэтому выбираем плоскую систему отсчета, прямоугольные оси координат XAY.

2. На балку действуют: сосредоточенная сила Р., в точке, пара сил с моментом М, распределенная нагрузка на участке ДА = а_1.Заменим распределенную нагрузку равнодействующей сосредоточенной силой:

Q = q×a₁ =1Н

Эта сила приложена в середине участка ДА.

3. На балку наложены связи: в точке А шарнирно- неподвижная опора, в точке В- шарнирно- подвижная опора.

Отбрасываем связи и заменяем их реактивными силами. Реакция шарнирно- неподвижной опоры в точке А лежит в плоскости ^ оси шарнира (в плоскости чертежа), направление ее зависит от направления и величины активных сил, поэтому раскладываем ее на составляющие по координатным осям Ах и Ау –R_A - (Х_А, У_А). Реакция катковой опоры в точке В направлена

по нормалям к опорной поверхности. Силы, направленные под углом к осям координат, разложим на составляющие, параллельные осям:

Расчетная схема приведена на рис. 4.2.

Таким образом, балка находится под действием плоской системы сил.

Рис.4.2.

1. Для плоской системы сил можно составить три не зависимых уравнения равновесия, в задаче три неизвестных силы Х_А, У_А, R_B- задача статически определима.

2. Уравнения равновесия:

S F ix =0; X_A-Pcos 45°-R_Bsin30°=0

S F iy =0; Y_A-Q –Psin45° +R_Bcos30°=0

SM_A(F i) =0;

из уравнения (4.3):

из уравнения (4.1):

из уравнения (4.2):

Направление вектора R_A определим по направляющим косинусам:

Если в значении реактивной силы получаем знак “минус”, это значит, что реактивная сила направлена в сторону противоположную принятой по схеме.

Ответы: R_A = 5,87 кН, R_B = 2,85 кН

Задача 2

Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки М механизма, показанного на рисунке 4.3 в момент времени t =10. Груз 1 опускается по закону S =0,4(t³ +2t) м, R₁ =0,1 м; R₂ =0,15 м; R₃ =0,3 м; R₄ =0,6м.

Рис. 4.3

Решение

1. Скорость точки В нити (скорость точки В колеса) равна:

2. Угловая скорость ступенчатого колеса 2

3. Скорость точки А

4. Угловая сокрость колеса 3

5.Угловое ускорение колеса 3

3. Cкорость точки М

При t=2c: V_M=(6*2²-4)0,15=3 м/с

7.Нормальное ускорение точки М (рис. 44)

При t=2c;

8. Тангенциальное ускорение точки М

При t=2c:

9.Полное ускорение точки М

Рис. 4.4.

Ответы: V_М=15 м/с 0,*18 м/с²; =0,15 м/с²; 23,4 м/с²

Задача 3

В механической системе определить скорость груза 2, в момент времени, когда груз 1 переместится на величину S₁ =1м, если m₁ = 4кг, m₂ =2кг, m₃ =3кг, радиусы ступенчатого шкива R₃ =20см, r₃ =10см. Сила F, приложенная к грузу 1 изменяется по закону F =70 (1+S) (Н), коэффициент трения скольжения груза 1- f₁=0,12. Масса шкива равномерно распределена по его объему.

Дано: m₁ =4 кг; m₂ =2 кг; m₃ =3 кг; R₃ =20 см; r₃ =10 см; F =70 (1+S) (н);

f₁ =0,12; S₁ =1 м /

_________________________

Определить V₂

Рис. 4.5

Решение

1. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы - конечную форму записи

,

В начальный момент система находилась в покое - T_O =0.

Уравнение (1) принимает вид:

1. Определим T₁

T – кинетическая энергия системы в момент времени, соответствующий перемещению груза 1- на S₁

- кинетическая энергия груза 1, перемещающегося поступательно.

Выразим V₁ через скорость груза 2.

- кинетическая энергия груза 2, перемещающегося поступательно.

- кинетическая энергия шкива 3, вращающегося вокруг неподвижной

оси 0. - момент инерции шкива

относительно оси вращения.

Выразим угловую скорость ω₃ через скорость груза 2.

Окончательно имеем:

3. Определим сумму работ всех внешних сил, действующих в системе на перемещениях, соответствующих S₁ _.Выразим все перемещения через S₁ _.

Покажем на схеме все внешние силы системы – – силы тяжести элементов; – сила трения груза 1; –нормальные реакции опорных поверхностей, – движущаяся сила.

Работа силы тяжести

Дж

g =10 м/с² - принимаем для всех расчетов.

Работа силы тяжести P₂-A_P₂

Дж

Работа силы тяжести P₃- A_p₃= 0, т.к. точка приложения этой силы

неподвижна.

Работа силы

Дж

Работа силы трения

Работа реакций так как эти силы перпендикулярны перемещениям.

Окончательно: =28,3-34,6+105-3,4=95,3 Дж

4. Выражения (2) и (3) подставляем в уравнение (1)

м/с

Ответ: Скорость груза 2 в момент времени соответствующий S₁ -

м/с

Задача 4

Груз массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке АВ скоростью груз в точке В переходит на движение по участку ВС. На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила F, направленная по линии движения груза (ось X) и сила трения скольжения. Коэффициент трения f. Найти закон движения груза на участке ВС (рис. 4.6).

Рис.4.6

Дано: m =1,6 кг, V₀ =18 м/с, Q =4 Н, R =0,4V Н,

t₁ =2 с, f =0,2, F =4cos (4t) Н

Определить: закон движения на участке ВС, т.е. x=f(t)

Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и .

Покажем действующие силы на схеме

Проведем ось АZ по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.

Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.

Для сокращения записи подставим числовые значения:

Разделим переменные и проинтегрируем:

Определим постоянную интегрирования С₁ по начальным условиям:

t = 0, V_Z₀=18 м/с.

Подставим эти значения переменных в уравнение (2):

Уравнение (2) примет вид:

Преобразуем уравнение:

Из равенства логарифмов

Скорость в точке В, для которой t=2с, получим:

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила .

Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось X:

(3)

Определим силу трения:

Для определения силы N запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось Y .

Так как при движении тела вдоль оси X координата Y не изменяется (т.е. Y=const), то и, следовательно, .

Запишем это равенство в соответствии со схемой сил

N-P=0, откуда N=P=mg; F_тр=fmg.

Уравнение (3) примет вид

Разделим переменные и проинтегрируем:

Начальные условия для участка ВС: t=0, V_X=V_B=6,95 м/с.

Подставим начальные условия в уравнение 6,95=С₂

Учитывая, что и С₂ =6,95, уравнение (4) примет вид:

Определяем С₃ из начальных условий: t=0, X₀=0

0=-0,156+С₃; С₃=0,156

Окончательно уравнение примет вид

Ответ: Закон движения груза на участке ВС

Задача 5

Даны уравнения движения точки в плоскости XY:

X = -2 cos , Y=2 sin

(X, Y - в см, t – в с).

Определить:

1) уравнение траектории точки;

2) скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории при t =1 с.

Решение:

Для определения уравнения траектории точки у=f(x) необходимо исключить из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:

cos 2α =1-2 sin²α или cos , (1)

Из уравнений движения находим выражения функций:

cos sin

Полученные значения функций подставляем в равенство (1).

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки.

1. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси: v_x=

;

X=(y+1)²+1

Рис.4.7.

при t₁=1 c: v₁_x=1,11 см/с, v₁_y=0,73 см/с, v₁=1,33 см/с

2. Аналогично найдем ускорение точки

и при t₁=1 c:

3.Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V_x²+V_y². Получим:

Числовые значения величин V_x, V_y, a_x, a_y, входящих в правую часть выражения, определены выше. Подставив эти значения, найдем, что при t₁ =1 c .

4. Нормальное ускорение точки найдем из равенства откуда . Подставляя найденные числовые значения a₁ и a₁_τ, получим, что при t₁ =1 c, a₁_n =0,58 см/с².

5. Радиус кривизны траектории определим из выражения или Подставляя числовые значения V₁ и a₁_n, найдем, что при t₁ =1 c, ρ₁=3,05 cм.

Ответ: V₁ =1,33 см/с, a₁ =0,88 см/с²,

a₁_n =0,58 см/с², ρ₁ =3,05 cм.

Задача 6

Однородный стержень длиной ℓ, массой m прикреплен под углом α к вертикальному валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω═const.

Вал закреплен в подпятнике А и в цилиндрическом подшипнике В. Отрезки АК=КВ=а. Определить реакции связей вала.

Дано: m, ℓ, а, α, ω═const

Определить реакции связей.

Решение.

Строим расчетную схему.

Рис.4.8

Применим для решения принцип Даламбера. Изобразим действующие на систему силы: силу тяжести

, реакции связей

силы инерции элементов однородного стержня. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения

, где r_K- расстояние элементов

стержня от оси вращения. Силы инерции элементов стержня направлены от оси вращения и численно равны

Эпюра сил инерции элементов стержня образует треугольник. Полученную систему параллельных сил заменим равнодействующей, равной главному вектору этих сил.