 |
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
|
|
|
|
Функцию, для которой 
называется бесконечно большой при 
.
Функцию, для которой 
называется бесконечно малой при .
Свойства бесконечно малых величин.
1. Сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
2. Произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
3. Произведение бесконечно малой величины на константу есть бесконечно малая величина.
Свойство 
отражает тот факт, что функцию 
можно записать в виде 
, где 
при .
Если функции и 
сами бесконечно малые, то символ 
(по старинной терминологии) означает бесконечно малую, более высокого порядка.
Если функции и суть бесконечно большие, то символ (по старинной терминологии), означает бесконечно большую более высокого порядка.
Кроме того, пишут
и называют функции и эквивалентными (асимптотически равными) при , если выполняется свойство:
Например.
Замечательные пределы
1. 
Так как функция 
является непрерывной, то 
при 
. Поэтому выражение 
представляет собой неопределенность типа 
. Предел раскрывает эту неопределенность.
2. 
Приме р. 
. Получается из второго замечательного предела заменой 
.
Пример. 
Если 
, то 
и 
Пример. 
, 
.
Доказательство.
Пример. 
, 
.
Доказательство. Положим 
. Тогда
8. Непрерывные функции. Определение непрерывности с помощью приращений.
На рисунке изображен график функции 
. Зададим точку 
. Близкая ей точка 
, где 
- приращение 
. Разность
называется приращением функции 
в точке , соответствующим приращению 
. На рисунке 
, 
.
Будем стремить к нулю. Тогда для рассматриваемой функции и 
будет стремиться к нулю
Рассмотрим теперь график другой функции 
. Придадим теперь 
приращение 
и определим соответствующее приращение функции
|
|
|
Если мы будем стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что 
стремится к нулю.
Теперь можно дать определение.
Функцию 
, заданную на отрезке 
, называют непрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению , стремится к нулю при любом способе стремления к нулю.
Это свойство непрерывности в точке записывают в виде
В противном случае функция называется разрывной.
Функция непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).
Функция 
называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при 
Либо 
; 
;
.
Пример. Функция 
непрерывна для любого 
. В самом деле.
Но для любого 
имеет место неравенство 
. Если 
, то это следует из рисунка (длина дуги больше стягивающей ее хорды). Отсюда следует
Но тогда, очевидно, 
. Что и требовалось доказать.
Т. Если функции и 
непрерывны в точке 
, то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при 
).
Пример. Функция 
непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: 
, и 
.
Точки разрыва и их классификация.
Пусть функция – имеет предел в точке слева (справа). Если:
а сама функция в точке не определена, то эта точка называется устранимой точкой разрыва.
Если функция такова, что существуют пределы в точке , но верхнее равенство не выполняется, то функция в точке имеет разрыв первого рода.
Если у функции не существует правого предела или левого предела в точке , или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то функция в этой точке имеет разрыв второго рода.
Например, функция 
. Точка 
- точка разрыва первого рода, 
.
|
|
|
|
|
|
