Теоремы о непрерывных функциях
Функция
называется непрерывной на отрезке
, если она непрерывна во всех точках интервала
, непрерывна справа в точке
и непрерывна слева в точке
.
Теорема 5. Если функция
непрерывна на отрезке
, то она ограничена на нем, т.е. существует константа
такая, что выполняется неравенство

На рисунке изображен график непрерывной функции
на отрезке
. Очевидно, что существует такое число
, что график находится ниже прямой
, но выше прямой
.
Теорема 6 (Вейерштрассе). Если функция
непрерывна на
, то существует ее минимум и максимум на
, т.е. существуют точки
такие, что
для всех
. См. рис.
Теорема 7. Если функция
непрерывна на отрезке
и числа
и
не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале
имеется
по крайней мере одна точка
такая, что
.
Следствие 1. Если функция
непрерывна на
,
,
,
и
произвольное число, находящееся между числами
и
, то на интервале
найдется по крайней мере одна точка
такая, что
.
Следствие 2. Непрерывная на отрезке
функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями.
9. Производная функции.
Пусть функция
определена в окрестности
. Тогда производной от функции
в точке
называется предел

где
. Функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.
Теорема 8 (о непрерывности дифференцируемой функции).
Если функция дифференцируема в
, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Пусть существует производная
. Тогда
,
причем
. Отсюда


Отсюда следует, что значение
непрерывно.
10. Основные правила дифференцирования.
1. 
Доказательство:

2.
(производная от суммы равна сумме производных).
Доказательство:


3.
константу можно выносить за знак производной.
Доказательство: 
Производная сохраняет линейные комбинации.
4. Производная произведения:


5. Производная частного:

Доказательство:


6. Производная сложной функции:

Доказательство:





Пример.

7. Производная обратной функции


8. Производная функции, заданной параметрически:

Доказательство: 

9. Производная функции
. 


Пример.


.
10. Если функция задана неявно, т.е. уравнением
, то производная
этой неявной функции может быть найдена из уравнения
, где
рассматривается как сложная функция переменной
.
Пример. Найти производную неявной функции
.
Это уравнение определяет
- функцию от
. Подставляя функцию
в данное уравнение, получаем тождество
. Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим
.

.
Производные элементарных функций
1.
, 
2. 


3. 

4.
,
,

5.

6.
,


7. 

8. 

9.

10.

11.

12.

13.
, 
14.
,
?
15.
, 
16.
, 
12. Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали к кривой.
Пусть
- фиксированная точка,
- текущая,
- секущая. При
секущая переходит в касательную в точке
(предельное положение секущей).
если
то 
.
Далее, нам известно уравнение прямой линии

Здесь
. Отсюда
- уравнение касательной
- уравнение прямой, перпендикулярной данной.
- нормали.
Производные высших порядков явно заданных функций
Производной второго порядка, или второй производной, функции
называется производная от ее производной
.
Обозначение второй производной

Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и более высоких порядков

Производные
порядка обозначаются и так

Если функция задана параметрически:
,
, то ее вторая производная определяется формулой

Дифференциал функции.
Пусть функция
определена в окрестности
и имеет производную в этой точке

При этом
. Тогда для достаточно малых
можно записать

Причем
при
. В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция
называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение
можно представить в виде

где
не зависит от
, но вообще зависит от
.
Теорема 9. Для того чтобы функция
была дифференцируема в точке
, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.
Таким образом, сказать, что
имеет производную в точке
или что
дифференцируема в точке
- это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.
Доказательство.
Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной
следовала возможность представления
в виде
, где можно положить
.
Необходимость. Пусть функция
дифференцируема в точке
. Тогда, если
, можно записать

Предел левой части при
существует и равен
:

Это означает, что существует производная
.
Геометрический смысл дифференциала.
Итак, приращение функции можно представить в виде

Первое слагаемое
пропорционально
, т.е. оно - линейная однородная функция от
. Второе,
является бесконечно малой высшего порядка малости
, т.е. оно стремится к нулю быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое
называется главным членом приращения
(при
). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом
. Итак, по определению

На рисунке -
касательная к кривой в точке
,
, приращение функции
соответствует приращению аргумента
. При этом


Вообще говоря
. Равенство выполняется только для линейной функции. В этом случае дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой
. Поэтому дифференциал произвольной функции записывают обычно так

Воспользуйтесь поиском по сайту: