Схема гибели и размножения
Термин "схема гибели и размножения" ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяций. Схема гибели и размножения очень часто встречается в теории массового обслуживания. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа (рис. 17), – простейшие. Пользуясь графом, представленным на рис. 17 составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний. Для первого состояния
Для второго состояния:
Исходя из предыдущего равенства, получим:
далее, аналогично получим:
В общем случае:
где k принимает значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности удовлетворяют уравнениям: кроме того, необходимо учесть нормировочное условие:
Решим эту систему уравнений:
В общем случае:
Обратим внимание на последнюю формулу: получили в числителе произведение интенсивностей, представленных на рис. 17 по верхним стрелкам, а в знаменателе произведение интенсивностей для нижних стрелок. Подставим полученные равенства в нормировочное условие:
Отсюда:
Формула Литтла
Теперь мы выведем формулу, связывающую среднее число заявок
Обозначим: X(t) – число заявок, прибывших в систему массового обслуживания до момента времени t, Y(t) – число заявок, покинувших систему до момента t. И та и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличение или уменьшение на единицу). Очевидно, что для любого момента времени t их разность Z(t)=X(t)-Y(t) есть число заявок, находящихся в системе (Рис. 18). Рассмотрим большой промежуток времени Т и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в системе:
Этот интеграл представляет собой площадь заштрихованной поверхности. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки. Обозначим эти времена
где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т. Разделим правую и левую части полученного равенства на Т и получим с учетом предыдущего:
Разделим и умножим правую часть полученной формулы на λ:
Величина λТ – среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен
Отсюда:
Это и есть формула Литтла: для любой системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении потока обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок. Точно таким же образом выводится и вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди
Читайте также: I. ОРИЕНТИРОВОЧНАЯ СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ КОММУНИКАТИВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧИТЕЛЯ НА УРОКЕ Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|