Простейшие системы массового обслуживания

1. n-канальная система массового обслуживания с отказами (задача Эрланга ).

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским ученым Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов (линий связи), на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания ). Найти финальные вероятности состояний системы массового обслуживания, а также характеристики ее эффективности:

А – абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет систему необслуженной;

– среднее число занятых каналов.

Решение.

Состояния системы S будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

– в системе нет ни одной заявки, – в системе находится одна заявка (один канал занят, остальные – свободны), …, – в системе находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны), …, – в системе находится n заявок (все каналы заняты). Граф состояний системы массового обслуживания представлен на рис. 19.

Воспользуемся уже готовыми формулами для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. Получим:

Обозначим отношение λ к μ через ρ:

.

Тогда:

.

Последняя формула называется формулой Эрланга.

Исходя из полученной формулы, найдем все остальные характеристики системы массового обслуживания:

.

Отсюда найдем относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

.

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на λ на Q:

Среднее число занятых каналов можно рассчитать по следующей формуле:

.