Теорема о существовании определенного интеграла.
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный интеграл Замечание: 1. Определенный интеграл является числом. 2. Определенный интеграл зависит от a, от b, от f(x) и не зависит от переменной интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
Установим теперь, исходя из определения интеграла, его простейшие свойства. При этом подынтегральную функцию будем считать непрерывной.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е. если k — некоторое число, то Действительно,
=k 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых. Например, для двух слагаемых f(x) и g(x) имеем:
Действительно, согласно определению интеграла имеем:
Совокупность свойств 1 и 2 называется свойством линейности. 3. Если сегмент интегрирования [a,b] разбит на две части [a,c] и [c,b], то
Действительно, предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения сегмента [a,b] на части и от выбора промежуточных точек Переходя к пределу, получим или
Геометрически свойство 3 выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции с основанием [a,b] равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [a,c] и [c,b]. Замечание. Свойство 3 было нами сформулировано в предположении, что a<c<b. Однако равенство (1) имеет место для любых чисел a, b и c.
4. Если на сегменте [a,b] В самом деле, так как Можно доказать, что если на сегменте [a,b] непрерывная функция 5. Если на сегменте [a,b] две функции f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству Иными словами, неравенство можно почленно интегрировать. В самом деле, разность Это свойство имеет простой геометрический смысл. Пусть обе функции f(x) и g(x) являются неотрицательными на сегменте [a,b]. Тогда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), содержит криволинейную трапецию, ограниченную кривой y=g(x). Поэтому площадь первой фигуры не меньше площади второй фигуры. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, 6. Теорема о среднем значении. Если f(x)-непрерывная на сегменте [a,b] функция, то существует такая точка ξ этого сегмента, что Обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на сегменте [a,b]. Тогда для любого x,
Применяя свойства 5 и 1, из неравенства (2) получим Но Разделив все члены двойного неравенства (3) на b-a, получим Таким образом, число Подставляя в выражение (4) вместо Итак, определенный интеграл от непрерывной функции равен значению подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке, умноженному на длину сегмента интегрирования.
Итак, свойства определенного интеграла:
Интеграл с переменным верхним пределом и его производная.
Интегралом с переменным верхним пределом называется Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна, то Возьмем точку x и вычислим в ней значение функции J(x) = I(x+Dx) = Функция I(x) получает приращение DI=I(x+Dx) – I(x)= По теореме о среднем значении существует точка CÎ(x,x+Dx), такая что т.к. при Из теоремы следует, что интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции. У каждой непрерывной функции имеется первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).
Формула Ньютона-Лейбница.
где F(x) -одна из первообразных f(x). Рассмотрим Формула позволяет вычислять определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона-Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д. Пример:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|