Вероятности ошибок различения M флуктуирующих сигналов

 

Далеко не всегда наблюдатель подробно априори осведомлен о различаемых сигналах. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными, поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.

Рассмотрим решение этой задачи на примере различения сигналов со случайными начальными фазами. Такие сигналы описываются моделью

 

s_i(t; φ)=Re{ _i(t)exp[j(2πf₀t+φ)]},

 

где f₀ – известная центральная частота; φ – случайная начальная фаза с априорной ПВ W₀(φ); (t) =S(t)e^jγ(t) – комплексная огибающая сигнала s(t), являющегося реализацией s(t; φ) при φ=0: s(t)=s(t; 0); S(t) и γ(t) – известные законы амплитудной и угловой модуляции. Применению правила МП должно предшествовать вычисление функции (функционала) правдоподобия (ФП) W(y(t)|H_i), т.е. усреднение ФП W(y(t)|H_i, φ), построенной для детерминированных сигналов с фиксированной фазой φ по всем ее возможным значениям с учетом априорной ПВ W₀(φ). При равномерной ПВ фазы W₀(φ)=1/(2π), |φ|≤π, с учетом равенства энергий всех различаемых сигналов W(y(t)|H_i) представляет собой модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка:

 

 

где c – коэффициент, содержащий сомножители, не зависящие от i, а  - модуль корреляции комплексных огибающих принятого колебания y(t) и i-го сигнала. Монотонность функции I₀(·) на положительной полуоси позволяет перейти к достаточной статистике Z_i и записать правило МП в виде

 

Таким образом, оптимальный различитель М сигналов равной энергии со случайными начальными фазами должен вычислить все М величин Z_i и, если максимальной из них является Z_k, принять решение о присутствии в y(t) k-го сигнала. Это означает, что содержащимся в наблюдаемом колебании y(t) считается тот сигнал, комплексная огибающая которого имеет наибольшую по модулю корреляцию с комплексной огибающей y(t).

Точные формулы для вероятностей ошибок различения М произвольных сигналов достаточно громоздки даже при М=2, однако в приложениях чаще других встречаются ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле. Последнее означает, что любые два несовпадающих сигнала s_i(t; φ_i), s_k(t; φ_k) ортогональны при любых значениях начальных фаз:

 

∫s_i(t; φ_i)s_k(t; φ_k)dt=0 при любых φ_i, φ_k и i≠k,

 

или, что эквивалентно, ортогональны детерминированные комплексные огибающие этих сигналов:

 

.

 

Условие ортогональности в усиленном смысле жестче обычного требования ортогональности, фигурировавшего ранее в применении к детерминированным сигналам. Так, два отрезка косинусоиды, сдвинутые на угол ±π/2, являясь ортогональными в обычном смысле, не ортогональны при изменении сдвига фаз, т.е. в усиленном смысле. В то же время сигналы, не перекрывающиеся по времени или по спектру, ортогональны и в усиленном смысле.

Если обратиться сначала к различению двух сигналов, нетрудно понять, что противоположная пара, минимизирующая P_ош в классе детерминированных сигналов, в задачах, где начальные фазы сигналов случайны, неприемлема. Действительно, единственным признаком, по которому различаются противоположные сигналы, является знак, т.е. присутствие или отсутствие в начальной фазе слагаемого π. Однако, когда перед поступлением на различитель каждый из сигналов приобретает случайный фазовый сдвиг, попытки использовать начальную фазу, в качестве характерного признака сигнала, бессмысленны, и в различителе от неинформативной величины φ приходится избавляться. Таким образом, можно прийти к выводу, что в классе М≥2 сигналов со случайными фазами симплексные ансамбли оптимальными свойствами не обладают. Оптимальными же оказываются именно ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле: каждый из таких сигналов вызывает отклик на выходе только одного из фильтров приемной схемы, и поэтому перепутывание i-го сигнала с k-м произойдет лишь в том случае, когда огибающая шума на выходе k-го согласованного фильтра (СФ) будет иметь значение, превосходящее значение огибающей суммы сигнала с шумом на выходе i-го СФ. Нарушение условия ортогональности в усиленном смысле приведет к появлению реакции на i-й сигнал на выходе не только i-го, но и других СФ, например k-го, в результате чего выброс огибающей на выходе k-го СФ, больший значения Z_i, станет более вероятным.

Чтобы найти вероятность перепутывания p₀₁ s₀(t; φ) с s₁(t; φ) при различении двух сигналов, необходимо проинтегрировать совместную ПВ Z₀, Z₁ при гипотезе H₀ W(Z₀, Z₁|H₀) по области Z₁>Z₀. Для ортогональных в усиленном смысле сигналов величины Z₀ и Z₁ независимы, поэтому W(Z₀, Z₁|H₀)=W(Z₀|H₀)W(Z₁|H₀). Одномерные же ПВ Z₀ и Z₁ известны: при истинности H₀ Z₀ как огибающая суммы сигнала с шумом имеет обобщенную рэлеевскую ПВ; Z₁ как огибающая только шума является рэлеевской случайной величиной. Перемножив эти ПВ, после интегрирования полученной ПВ W(Z₀, Z₁|H₀) и с учетом очевидного равенства p₀₁=p₁₀ для полной вероятности ошибки различения двух равновероятных ортогональных в усиленном смысле сигналов со случайными фазами получим

 

 

Повторение рассуждений пункта 4.2. (для детерминированных сигналов) приводит к аддитивной границе

 

 

которой, как правило, и пользуются для оценки вероятности ошибки, если число равновероятных ортогональных в усиленном смысле сигналов М≥2. [9]

 

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: