Расчет ошибок различения M сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами

 

Рассмотрим задачу различения «М» ортогональных сигналов с неизвестным временным положением в асинхронных системах связи с кодовым разделением каналов. Решение о наличии сигнала в канале выносится по методу максимального правдоподобия. Найдем вероятность ошибки различения с учетом выбросов шума на интервале возможных временных задержек сигналов.

Предположим, что имеется «М» абонентов системы связи, каждый из которых использует свой сигнал. Наибольшую помехоустойчивость при передаче информации в таких условиях обеспечивают симплексные сигналы. При М>>1 помехоустойчивость такой системы сигналов практически совпадает с помехоустойчивостью системы ортогональных сигналов, для которых

 

 

Здесь E_kf – энергия сигнала f_k. Условие ортогональности, которое можно назвать «ортогональностью в точке», на практике требует системы единого времени для организации синхронной связи. В асинхронных системах используются ортогональные в усиленном смысле сигналы, для которых при всех значениях τ_k и τ_m

 

 

Если R_km(τ_k, τ_m)<0.25 – 0.3, то можно считать ансамбль сигналов практически удовлетворяющим условию ортогональности.

Будем рассматривать систему сложных сигналов {f_k(t)}, k=1…M ортогональную при произвольном сдвиге. Среди сложных сигналов весьма широкое применение получили фазоманипулированные (ФМ) сигналы с комплексной огибающей вида

 

где a_i – код последовательности, u₀(t) – форма огибающей элементарной посылки, Δ – ее длительность. В случае прямоугольной формы огибающей элементарной посылки автокорреляционная функция (АКФ) имеет вид:

 

 

Здесь R₀(τ)=(1-|τ|/Δ). В окрестности максимума АКФ R(τ)= R₀(τ)=(1-|τ|/Δ). На входе приемника после прохождения многолучевого канала полезный сигнал может быть записан как

 

 

δ_n – относительная задержка сигнала по лучу с номером n, τ – неизвестное время прихода, которое находится внутри интервала [T₁,T₂]. ε_n=A_n/A₀ – относительная амплитуда «n»-го луча, параметр ν имеет смысл числа дополнительных лучей распространения. Относительные задержки δ_n>Δ, т.е. лучи разделяются при обработке сложного сигнала. При ν=0 сигнал имеет вид s(t)=A₀f(t-τ₀).

Рассмотрим алгоритм обработки. На вход приемника поступает смесь

 

x(t)=s_k(t-τ_0k)+η(t),       (t [0,T_Н]),

 

где s_k(t) – один из возможных сигналов, k=1…M, τ_0k – временная задержка сигнала, η(t) – белый гауссовский шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности N₀/2. Необходимо вынести решение, какой из M возможных сигналов присутствует на входе приемника. Рассмотрим приемник без компенсации многолучевости. Линейная часть такого приемника содержит М каналов, в которых формируются статистики вида

 

 

Выражение для L_k(τ_k) можно переписать в боле удобном для анализа виде

 

 

Здесь и в последующих формулах индекс k для краткости опускается, если исследуются характеристики одного канала, z₀²=2A₀²E_f/N₀ – энергетическое отношение сигнал/шум, S(τ-τ₀)=∫f(t-τ) f(t-τ₀)dt/E_f – нормированная сигнальная функция, N(τ)= ∫n(t)f(t-τ)dt – нормированная шумовая функция с нулевым средним значением, единичной дисперсией и корреляционной функцией <N(τ')N(τ'')>=S(τ'-τ''). Огибающая сигнальной функции S(τ-τ₀) есть АКФ.

Согласно алгоритму максимального правдоподобия решение в пользу сигнала с номером m выносится, если sup L_m(τ_m)≥sup L_k(τ_k). Для нахождения вероятностей правильных и неправильных решений по этому правилу необходимо вычислить распределение абсолютных максимумов процессов L(τ) на интервале [Т₁,Т₂].

Рассмотрим методику расчета вероятности ошибки различения M сигналов с неизвестными параметрами при однолучевом распространении сигналов (или в схеме оптимального сложения сигналов). Обозначим через H_k=sup L_k(τ_k) – величину абсолютного максимума статистики на выходе k-го канала приемника. Совместное распределение случайных величин {H₁,H₂,..H_M} запишем как w(u₁,u₂,..u_M). Условие ортогональности для сигналов f_k(t) в статистическом смысле означает независимость случайных величин H_k, k=1..M. Тогда вероятность правильного решения по алгоритму максимального правдоподобия можно записать

 

 

Если учесть условие ортогональности системы сигналов {s_k(t)}, то

 

 

Предположим, что система сигналов {s_k(t)} имеет одинаковую энергию, то есть z_0m=z_0k=z₀. Тогда формулы для H_m и H_k можно переписать в виде

 

Функция распределения абсолютного максимума h_k реализации гауссовского процесса с корреляционной функцией R(τ) может быть аппроксимирована формулой

 

 

ξ=(T₂-T₁)/Δ – приведенная длина априорного интервала [Т₁,Т₂], имеющая смысл числа разрешения ФМ сигналов на этом интервале. Аппроксимация асимптотически точна при ξ→∞, u→∞. При конечных значениях ξ и u можно использовать более точную аппроксимацию

 

Здесь

 

- интеграл вероятности. При ξ>>1 и z₀>>1 функция распределения абсолютного максимума h_m может быть записана как F_m(u)=F_s(u)F_N(u)≈Φ(u-z₀)F_N(u). Подставляя выражения F_N(u) и F_m(u) в соотношение для P_прав, получаем после соответствующих преобразований

 

Первое слагаемое соответствует априорной вероятности правильного решения для M равновозможных событий. Второе слагаемое определяет изменения вероятности за счет принятия решения. При z₀→∞ интеграл в выражении для P_прав стремится к 1 и, соответственно, P_прав→1.

Полная вероятность ошибки различения М сигналов с неизвестными параметрами равна

 

 

Из формул видно, что с увеличением числа различаемых сигналов вероятность ошибки принятия решения P_e(z₀) увеличивается. С увеличением априорного интервала временных задержек сигналов ξ вероятность ошибки различения P_e(z₀) значительно возрастает. [8]

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: