Зависимые и независимые случайные величины
При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение однойслучайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми. Понятие о независимых случайных величинах – одно их важных понятий теории вероятностей. Случайная величина Для непрерывных случайных величин условие независимости при любом Напротив, в случае, если
Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина Действительно, пусть
Из формул (8.4.4) и (8.4.5) имеем:
откуда, принимая во внимание (8.5.1), получим: что и требовалось доказать. Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определениенезависимых случайных величин. Случайные величины Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:
т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведениюплотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
Условие (8.5.2) может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин. Часто по самому виду функции Пример. Плотность распределения системы
Определить, зависимы или независимы случайные величины Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем:
Из того, что функция
аналогично
откуда убеждаемся, что и, следовательно, величины Вышеизложенный критерий суждения о зависимости или независимости случайных величин исходит из предположения, что закон распределения системы нам известен. На практике чаще бывает наоборот: закон распределения системы Остановимся несколько подробнее на важных понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин. Понятие «независимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую - функциональную зависимость. Две величины
В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости — с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой. Те физические величины, которые на практике мы считаем функционально зависимыми, в действительности связаны весьма тесной вероятностной зависимостью: при заданном значении одной из этих величин другая колеблется в столь узких пределах, что ее практически можно считать вполне определенной. С другой стороны, те величины, которые мы на практике считаем независимыми, и действительности часто находятся в некоторой взаимной зависимости, но эта зависимость настолько слаба, что ею для практических целей можно пренебречь. Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Еслислучайные величины Рассмотрим, например, две такие случайные величины:
Формулы подобного типа, очевидно, не являются точными и выражают лишь некоторую среднюю, массовую закономерность, тенденцию, от которой в каждом отдельном случае возможны отступления. В вышеприведенном примере мы имели дело со случаем явно выраженной зависимости. Рассмотрим теперь такие две случайные величины: Приведем еще несколько примеров случайных величин, находящихся в различных степенях зависимости. 1. Из камней, составляющих кучу щебня, выбирается наугад один камень. Случайная величина 2. Производится стрельба ракетой в заданный район океана. Величина 3. Летательный аппарат, находясь в полете, измеряет высоту над поверхностью Земли с помощью барометрического прибора. Рассматриваются две случайные величины: В следующем
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|