 |
Зависимые и независимые случайные величины
|
|
|
|
При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение однойслучайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.
Понятие о независимых случайных величинах – одно их важных понятий теории вероятностей.
Случайная величина 
называется независимой от случайной величины 
, если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина .
Для непрерывных случайных величин условие независимости от может быть записано в виде:
при любом 
.
Напротив, в случае, если зависит от , то
.
Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина не зависит от .
Действительно, пусть не зависит от :
. (8.5.1)
Из формул (8.4.4) и (8.4.5) имеем:
,
откуда, принимая во внимание (8.5.1), получим:
что и требовалось доказать.
Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определениенезависимых случайных величин.
Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.
Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:
, (8.5.2)
т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведениюплотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
|
|
|
Условие (8.5.2) может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.
Часто по самому виду функции 
можно заключить, что случайные величины , являются независимыми, а именно, если плотность распределения распадается на произведение двух функций, из которых одна зависит только от 
, другая - только от , то случайные величины независимы.
Пример. Плотность распределения системы 
имеет вид:
.
Определить, зависимы или независимы случайные величины и .
Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем:
.
Из того, что функция распалась на произведение двух функций, из которых одна зависима только от , а другая - только от , заключаем, что величины и должны быть независимы. Действительно, применяя формулы (8.4.2) и (8.4.3), имеем:
;
аналогично
,
откуда убеждаемся, что
и, следовательно, величины и независимы.
Вышеизложенный критерий суждения о зависимости или независимости случайных величин исходит из предположения, что закон распределения системы нам известен. На практике чаще бывает наоборот: закон распределения системы не известен; известны только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, и имеются основания считать, что величины и независимы. Тогда можно написатьплотность распределения системы как произведение плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
Остановимся несколько подробнее на важных понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин.
Понятие «независимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую - функциональную зависимость. Две величины и называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.
|
|
|
В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости — с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина связана с величиной вероятностной зависимостью, то, зная значение , нельзя указать точно значение , а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина .
Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой. Те физические величины, которые на практике мы считаем функционально зависимыми, в действительности связаны весьма тесной вероятностной зависимостью: при заданном значении одной из этих величин другая колеблется в столь узких пределах, что ее практически можно считать вполне определенной. С другой стороны, те величины, которые мы на практике считаем независимыми, и действительности часто находятся в некоторой взаимной зависимости, но эта зависимость настолько слаба, что ею для практических целей можно пренебречь.
Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Еслислучайные величины и находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины величина изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины величина имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании ). Эта тенденция соблюдается лишь «в среднем», в общих чертах, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступлении.
Рассмотрим, например, две такие случайные величины: - рост наугад взятого человека, - его вес. Очевидно, величины и находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес. Можно даже составить эмпирическую формулу, приближенно заменяющую эту вероятностную зависимость функциональной. Такова, например, общеизвестная формула, приближенно выражающая зависимость между ростом и весом:
|
|
|
.
Формулы подобного типа, очевидно, не являются точными и выражают лишь некоторую среднюю, массовую закономерность, тенденцию, от которой в каждом отдельном случае возможны отступления.
В вышеприведенном примере мы имели дело со случаем явно выраженной зависимости. Рассмотрим теперь такие две случайные величины: - рост наугад взятого человека; 
- его возраст. Очевидно, для взрослого человека величины и можно считать практически независимыми; напротив, для ребенка величины и являются зависимыми.
Приведем еще несколько примеров случайных величин, находящихся в различных степенях зависимости.
1. Из камней, составляющих кучу щебня, выбирается наугад один камень. Случайная величина 
- вес камня;случайная величина 
- наибольшая длина камня. Величины и находятся в явно выраженной вероятностной зависимости.
2. Производится стрельба ракетой в заданный район океана. Величина 
- продольная ошибка точки попадания (недолет, перелет); случайная величина 
- ошибка в скорости ракеты в конце активного участка движения. Величины и явно зависимы, так как ошибка является одной из главных причин, порождающих продольную ошибку .
3. Летательный аппарат, находясь в полете, измеряет высоту над поверхностью Земли с помощью барометрического прибора. Рассматриваются две случайные величины: 
- ошибка измерения высоты и 
- вес топлива, сохранившегося в топливных баках к моменту измерения. Величины и практически можно считать независимыми.
В следующем 
мы познакомимся с некоторыми числовыми характеристиками системы случайных величин, которые дадут нам возможность оценивать степень зависимости этих величин.
|
|
|
