Нормальный закон на плоскости
Из законов распределения системы двух случайных величин имеет смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий наибольшее распространение на практике. Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным» законом на плоскости. В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой
Этот закон зависит от пяти параметров: Для того чтобы убедиться в этом, найдем прежде всего плотность распределения для каждой из величин, входящих в систему. Согласно формуле (8.4.2)
Вычислим интеграл
Положим:
тогда
Из интегрального исчисления известно, что
В нашем случае
Подставляя эти значения в формулу (9.1.3), имеем:
откуда
или, учитывая (9.1.2)
Таким образом, величина
т.е. величина Остается доказать, что параметр
где Подставляя в эту формулу выражение
где
Произведем в двойном интеграле (9.1.6) замену переменных, положив:
Якобиан преобразования равен
следовательно, Учитывая, что имеем:
Таким образом, доказано, что параметр Предположим теперь, что случайные величины
Легко убедиться, что случайные величины
т.е. плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, а это значит, что случайные величины Таким образом, для системы случайных величин, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость. Термины «некоррелированные» и «независимые» величины для случаянормального распределения эквивалентны. При Проанализируем один из этих условных законов распределения, например
Очевидно, это есть плотность нормального закона с центром рассеивания
и средним квадратическим отклонением
Формулы (9.1.10) и (9.1.11) показывают, что в условном законе распределения величины Величина
есть линия регрессии Линии регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной зависимости
Рассматривая выражение (9.1.1) для плотности нормального распределения на плоскости, мы видим, что нормальный закон на плоскости полностью определяется заданием пяти параметров: двух координат центра рассеивания Так как на практике нормальный закон весьма распространен, то очень часто для полной характеристики закона распределения системы оказывается достаточно задать минимальное число – всего пять – числовых характеристик.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|