 |
Вероятность попадания в эллипс рассеивания
|
|
|
|
К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания в которые может быть вычислена в конечном виде, принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равной плотности).
Пусть нормальный закон на плоскости задан в канонической форме:
. (9.4.1)
Рассмотрим эллипс рассеивания 
, уравнение которого
,
где параметр 
представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к главным средним квадратическим отклонениям. По общей формуле (8.3.3) имеем:
. (9.4.2)
Сделаем в интеграле (9.4.2) замену переменных
.
Этой подстановкой эллипс преобразуется в круг 
радиуса . Следовательно,
. (9.4.3)
Перейдем в интеграле (9.4.3) от декартовой системы координат к полярной, положив
. (9.4.4)
Якобиан преобразования (9.4.4) равен 
. Производя замену переменных, получим:
.
Таким образом, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям, равна:
. (9.4.5)
В качестве примера найдем вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону на плоскости 
в единичный эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям:
.
Для такого эллипса 
. Имеем:
Пользуясь таблицей 2 приложения, находим:
.
Формула (9.4.5) чаще всего применяется для вычисления вероятности попадания в круг при круговом рассеивании.
Пример. На пути быстро движущейся малоразмерной цели площади 
ставится осколочное поле в форме плоского диска радиуса 
. Внутри диска плотность осколков постоянна и равна 
. Если цель накрыта диском, то число осколков, попадающих в нее, можно считать распределенным по закону Пуассона. В силу малости цели можно рассматривать ее как точечную и считать, что она или полностью накрывается осколочным полем (если ее центр попадает в осколочный круг), или совсем не накрывается (если ее центр не попадает в круг). Попадание осколка гарантирует поражение цели. При прицеливании центр круга 
стремятся совместить в плоскости с началом координат 
(центром цели), но вследствие ошибок точка рассеивается около (рис. 9.4.1). Закон рассеивания нормальный, рассеивание круговое, 
. Определить вероятность поражения цели 
.
|
|
|
Рис. 9.4.1
Решение. Чтобы цель была поражена осколками, необходимо совмещение двух событий: 1) попадание цели (точки ) в осколочное поле (круг радиуса 
) и 2) поражение цели при условии, что попадание произошло.
Вероятность попадания цели в круг, очевидно, равна вероятности того, что центр круга (случайная точка ) попадает в круг радиуса , описанный вокруг начала координат. Применим формулу (9.4.5). Имеем:
.
Вероятность попадания цели в осколочное поле равна:
.
Далее найдем вероятность поражения цели 
при условии, что она накрыта осколочным диском. Среднее число осколков 
, попадающих в накрытую полем цель, равно произведению площади цели на плотность поля осколков:
.
Условная вероятность поражения цели есть не что иное, как вероятность попадания в нее хотя бы одного осколка. Пользуясь формулой (5.9.5) главы 5, имеем:
.
Вероятность поражения цели равна:
.
Воспользуемся формулой (9.4.5) для вероятности попадания в круг, чтобы вывести одно важное для практики распределение: так называемое распределение Релея.
Рассмотрим на плоскости (рис. 9.4.2) случайную точку 
, рассеивающуюся вокруг начала координат по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением 
. Найдем закон распределения случайной величины - расстояния от точки до начала координат, т.е. длины случайного вектора с составляющими 
.
Рис. 9.4.2.
Найдем сначала функцию распределения 
величины . По определению
.
Это есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки внутрь круга радиуса (рис. 9.4.2). По формуле (9.4.5) эта вероятность равна:
|
|
|
,
где 
, т.е.
. (9.4.6)
Данное выражение функции распределения имеет смысл только при положительных значениях ; при отрицательных нужно положить 
.
Дифференцируя функцию распределения по , найдем плотность распределения
(9.4.7)
Закон Релея (9.4.7) встречается в разных областях практика в стрельбе, радиотехнике, электротехнике и др.
График функции 
(плотности закона Релея) приведен на рис.9.4.3.
Рис. 9.4.3
Найдем числовые характеристики величины , распределенной по закону Релея, а именно: ее моду 
иматематическое ожидание 
. Для того чтобы найти моду – абсциссу точки, в которой плотность вероятностимаксимальна, продифференцируем и приравняем производную нулю:
.
Корень этого уравнения и есть искомая мода
. (9.4.8)
Таким образом, наивероятнейшее значение расстояния случайной точки от начала координат равно среднему квадратическому отклонению рассеивания.
Математическое ожидание найдем по формуле
.
Производя замену переменной
.
получим:
.
Интегрируя по частям, найдем математическое ожидание расстояния :
. (9.4.9)
|
|
|
