Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Численное решение дифференциальных уравнений

Численными методами решается уравнение первого порядка в виде: y' = f(x,y) с заданными начальными условиями x₀, y₀, где x и y - независимая (обычно время) и зависимая переменные. В дальнейшем будем считать такое уравнение записанным в стандартном виде.

Уравнения высших порядков приводят к системе уравнений первого порядка введением дополнительных переменных. Например, для уравнения второго порядка

y" = f(x,y',y)

примем v= y'. Тогда y" = v' и имеем систему уравнений:

v’ = f(x, y, v);

y’ = v.

Графическая интерпретация численного решения обыкновенного дифференциального уравнения показана на рис. 7 на примере простейшего метода Эйлера. Известной является функция y₀ в точке x₀.

Рис. 7. Графическая интерпретация метода Эйлера

Решение находится для ряда значений независимой переменной х с шагом h:

x₁ = x₀ + h; x₂ = x₁ + h;... x_n+1 = x_n + h.

Значение y₁ (рис. 7) находится на пересечении прямой, проведенной из точки (х₀,у₀) под углом a₀ = arctg(y₀') и перпендикуляра, проведенного к оси абсцисс из точки х₁. Процесс последовательно повторяется для других значений х:

y₁ = y₀ + h×y₀' = y₀ + h×f(x₀,y₀),

y₂ = y₁ + h×y₁' = y₁ + h×f(x₁,y₁),...

y_n+1 = y_n + h×y_n' = y_n + h×f(x_n,y_n).

Недостатком данного метода является низкая точность решения. Для повышения точности решения уменьшают шаг счета h или используют методы более высокого порядка. Под порядком метода понимается максимальный порядок производной ряда Тейлора, учитываемый в численном методе

y_n+1 = y_n + h·y_n' +h²/2·y” +h³/6·y⁽³⁾ +...

Метод Эйлера учитывает производную только первого порядка, поэтому является методом первого порядка. Чаще всего используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого имеет вид:

y_n+1 = y_n + (k₁ + 2×k₂+2×k₃ + k₄) / 6,

где k₁ = h×f(x_n,y_n);

k₂ = h×f(x_n + 0.5×h,y_n + 0.5×k₁);

k₃ = h×f(x_n + 0.5×h,y_n + 0.5×k₂);

k₄ = h×f(x_n + h,y_n + k₃).

Начало программы (вариант) для решения дифференциального уравнения второго порядка

m×x" + b×x' + c×x = F

показано ниже.

Program DIFUR;

Uses Crt,Dos,Lib,Graph;

type mas = array[1..10] of real;

Var Rez :text; d,y,y1:mas;

Filerez,text,Sxmax,Sxst,Stmax :string[50];

m,b,c,F,h,hp,t,tp,tmax,xmax,xst,nx,ny,nmax:real;

n :integer;

KL,nd,j :byte;

Procedure Prav(var y,d:mas);

í y[1] = x' - скорость массы d[1] = x''- ускорение массы ý

í y[2] = x - перемещение массы d[2] = x' - скорость массы ý

begin

d[1]:= (F - b*y[1] - c*y[2])/m; d[2]:= y[1];

end;

Procedure Rynge;

Var j:byte; yy,k:array[1..nd] of real;

begin

Prav(y,d);

For j:=1 to nd do begin

yy[j]:=y[j]; k[j]:=h*d[j]; y1[j]:=yy[j] + 0.5*k[j]; y[j]:=y[j] + k[j]/6; end;

t:=t+0.5*h; Prav(y1,d);

For j:=1 to nd do begin

k[j]:=h*d[j]; y1[j]:=yy[j] + 0.5*k[j]; y[j]:=y[j] + k[j]/3; end;

Prav(y1,d);

For j:=1 to nd do begin

k[j]:=h*d[j]; y1[j]:=yy[j] + k[j]; y[j]:=y[j] + k[j]/3; end;

t:=t+0.5*h; Prav(y1,d);

For j:=1 to nd do begin k[j]:=h*d[j]; y[j]:=y[j] + k[j]/6; end;

end;

Procedure Start;...

Процедура Prav (var y,d:max) предназначена для вычисления правых частей уравнений. Использованные в ней массивы типа mas: y – вектор - решение (выходные параметры); d - производные вектор - решения (производные выходных параметров).

Процедура Rynge реализует метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Метод итераций

Метод итераций (метод последовательных приближений) предназначен для нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений. Для этого исходное уравнение F(x) = 0 нужно преобразовать в эквивалентное x = f(x), например, добавлением в левую и правую части исходного уравнения F(x) = 0 переменной х.

Сначала задаются первоначальным значением x = x⁽⁰⁾ и находят первое приближение:

x⁽¹⁾ = f[x⁽⁰⁾].

Аналогично находят следующие приближения:

x⁽²⁾ = f[x⁽¹⁾],..., x⁽ⁱ⁺¹⁾ = f[x⁽ⁱ⁾].

Расчет завершается, если достигается заданная точность е

|x⁽ⁱ⁺¹⁾ – x⁽ⁱ⁾| < е.

Процеcс сходящийся, если ú df/dxú < 1.

Графическая интерпретация метода итераций показана на рис. 8 а. Точное решение соответствует пересечению функции f(x) с осью абсцисс х.

Для уравнений типа

F(x) = a₀×xⁿ + a₁×x^n-1 +... + a_n = 0

удобным в использовании является метод Ньютона (метод касательных), итерационная формула для которого имеет вид:

, где F’(x) = dF/dx (рис.8 б).

а) б)

Рис. 8. Графическая интерпретация методов итераций (а) и Ньютона (б)

Структурные схемы и графы

Представляют собой графическую запись уравнений и наглядно показывают связи между отдельными элементами объекта. Структурные схемы и графы можно по определенным правилам преобразовывать и упрощать. Такие действия эквивалентны алгебраическим преобразованиям систем уравнений. Они имеют геометрическую интерпретацию и уменьшают вероятность появления ошибок. По структурным схемам и графам записываются топологические формулы, которые впервые предложены Кирхгофом (1874 г.) и Максвеллом (1892 г.).

Структурные схемы и графы можно составлять по уравнениям и по геометрическому виду объекта. В последнем случае объект рассматривается состоящим из отдельных элементов, для каждого из которых имеются частные структурные схемы и графы.

Структурные схемы

В структурных схемах математические операции изображаются прямоугольником, внутри которого указывается вид операции (рис. 9).

Рис. 9. Примеры условных обозначений математических

операций на структурных схемах

В соответствии с рис. 9 один из вариантов структурной схемы для дифференциального уравнения

y” + a₁y’ + a₂y = F

будет иметь следующий вид (рис.10):

Рис. 10. Структурная схема дифференциального уравнения

второго порядка (вариант)

Графы

Теория направленных графов получила основное развитие за рубежом. Разработано несколько типов графов, с помошью которых решаются системы линейных алгебраических уравнений. Наиболее известен М-граф, предложенный Мэзоном в 1956 г. Он представляет собой графическую трактовку известного в математике правила Крамера. Мэзон показал, что определитель системы имеет вполне определенный физический смысл и разработал упорядоченную методику его нахождения.

При использовании графов исходные уравнения заменяются графом. Затем по его виду записывается решение в виде передаточной функции (см. ниже). Граф, как и структурная схема строится по определенным правилам. Его вид зависит от геометрии объекта и принятых выходных координат.

Графом называют геометрическую фигуру, образованную точками и соединяющими их линиями (рис. 11).

Рис. 11. Пример графа объекта

Точки х₁, х₂, х₃ и х₄ называют вершинами или узлами графа. Они соответствуют принятым входным и выходным координатам. Линии a, b, c, …f называют ветвями или ребрами графа. Они определяют связи и соотношения между координатами графа.

Направления передачи сигналов указывают стрелками. Ветви графа образуют пути прохождения сигналов. Различают прямые и обратные, замкнутые и разомкнутые пути. В замкнутом пути (на рис.12 путь f-a) сигнал возвращается к исходному узлу. Он образует контур обратной связи, частным случаем которого является петля (путь d).

Правила упрощения и преобразования графов.

Правило 1. Устранение узла. x₂=ax₁; x₃=bx₂=abx₁