 |
Общие сведения о случайных функциях
|
|
|
|
Функция, значение которой является случайной величиной при каждом данном значении независимой переменной, называется случайной. Она может рассматриваться как бесконечная последовательность случайных величин и зависит от одной или нескольких независимо изменяющихся переменных. Случайные функции, для которых независимой переменной является время, называют стохастическими. В дальнейшем, если особо не оговорено, в качестве независимой переменной принято время t.
Функция, получаемая в результате каждого отдельного опыта, является конкретной реализацией случайной функции, представляющей собой совокупность всех реализаций. Случайная функция x(t) при данном t = ti есть случайная величина x(ti) и называется сечением функции.
При рассмотрении случайных процессов выделяют такие, статистические характеристики которых не изменяются во времени. Эти процессы и соответствующие им случайные функции называются стационарными. Процессы и соответствующие им функции, не обладающие свойством инвариантности (неизменности) статистических характеристик при временных сдвигах, называют нестационарными. Исследование систем, случайные процессы в которых стационарны, значительно проще исследования нестационарных систем. С другой стороны, процессы во многих объектах могут приближённо рассматриваться как стационарные.
Свойство эквивалентности среднего по времени среднему по множеству носит название эргодичности. Для эргодического стационарного процесса все усреднённые характеристики одинаковы для всех реализаций, и эти реализации могут быть заменены одной реализацией, достаточно продолжительной по времени. Для определения характеристик стационарной эргодической случайной функции можно ограничиться одним опытом вместо множества опытов, необходимых для определения характеристик неэргодического процесса. Не всякая стационарная функция является эргодической. Простейшим примером является функция, все реализации которой постоянны по времени, но различны по уровню.
|
|
|
Ниже рассмотрены характеристики случайных процессов в предположении, что они обладают свойствами стационарности и эргодичности.
Основными статистическими характеристиками случайной функции являются: плотность распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение или дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность.
Плотность распределения определяет вероятность того, что значения ординат в произвольный момент времени находятся в определённом интервале:
.
Математическое ожидание (среднее значение) непрерывной случайной функции
или 
.
Для дискретной случайной функции
или 
.
Разность 
называется центрированной случайной функцией. Её математическое ожидание равно нулю.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют разброс значений x(t) случайной функции относительно математического ожидания. Дисперсия непрерывного и дискретного процессов соответственно равна:
для центрированной функции
;
для нецентрированной функции
.
Среднее квадратическое отклонение 
.
Плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсия не характеризуют протекание случайного процесса во времени. Для оценки временной структуры центрированной случайной функции используют корреляционную функцию, которая определяет взаимосвязь случайных значений функции во времени:
|
|
|
,
где х(t+t) - значение случайной функции x(t) при смещённом на t значении аргумента (времени). Для дискретной функции
.
Пусть, например, имеется ряд дискретных значений функции x1, x2, …, xN. Тогда
Из формул видно, что при нулевом сдвиге (t = 0 или n=0) значение Rx будет максимальным и равным дисперсии Dx (рис. 20). С увеличением сдвига t значения Rx(t) уменьшаются. При некотором значении t = t0, называемом временем корреляции, кривая Rx(t) пересекает ось абсцисс. При t > t0 значения функции x(t) являются практически независимыми друг от друга случанйыми величинами. Конечное значение Rx(¥) = 
. Для центрированной случайной функции Rx(¥) = 0. Часто удобнее пользоваться нормированной безразмерной корреляционной функцией 
.
|
Рис. 20. Графики корреляционной функции Rx(t) и спектральной плотности Sx(w)
Корреляционные функции являются неслучайными и их можно аппроксимировать функциональной зависимостью
.
В большинстве случаев достаточно ограничиться одним слагаемым
.
Спектральная плотность пропорциональна квадратам амплитуд колебаний и характеризует энергию колебаний на различных частотах (рис. 18).
Для получения спектральной плотности достаточно взять интеграл Фурье от корреляционной функции:
.
Этот интеграл называют прямым функциональным преобразованием Фурье. Обратное преобразование позволяет найти корреляционную функцию по спектральной плотности:
.
Последние два выражения после определённых преобразований можно записать в более удобном для практических расчётов виде:
; 
.
При t = 0 
.
Таким образом, дисперсия амплитуд стационарной случайной функции пропорциональна площади, ограниченной кривой Sx(w) и осями координат.
Спектральная плотность производной случайной функции 
.
Случайный процесс х, в котором отсутствует взаимосвязь между предыдущими и последующими значениями х, называется абсолютно случайным процессом или белым шумом. В этом случае время корреляции t0=0, Rx(t) представляет собой d-функцию, а Sx является постоянной величиной, не зависящей от w. В чистом виде белый шум нереализуем, так как требует бесконечно большой мощности. Однако многие физические процессы близки к нему (в определённом интервале частот).
|
|
|
Из теории случайных функций известно, что для линейного объекта спектральная плотность выходного сигнала равна спектральной плотности входного сигнала, умноженной на квадрат модуля АЧХ объекта: 
.
Тогда дисперсия выходного сигнала
.
Обычно оптимальными условиями работы объекта являются такие, при которых дисперсия выходного сигнала минимальна.
|
|
|
