 |
Собственные числа и собственные векторы матрицы.
|
|
|
|
Из курса линейной алгебры известно, что если А х =l х, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число l – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k.
Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A). В результате выполнения этой команды будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие собственные векторы.
Чтобы понять, в каком виде получаются результаты выполнения команды eigenvectors, внимательно разберитесь со следующим примером: матрица 
имеет 3 собственных вектора: 
, отвечающий собственному числу 
кратности 1, 
, отвечающий собственному числу 
кратности 1, 
, отвечающий собственному числу 
кратности 1. Найдем их в Maple:
> A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]):
> eigenvectors(A);
[2,1,{[-1,0,1]}], [3,1,{[1,1,1]}], [6,1,{[1,-2,1]}]
В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках, затем следующие наборы таких же данных.
Характеристический и минимальный многочлены матрицы.
Для вычисления характеристического многочлена 
матрицы A используется команда charpoly(A,lambda).
Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly(A,lambda).
Канонические и специальные виды матрицы.
Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).
К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:
|
|
|
1) команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;
2) команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;
3) команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.
Характеристическую матрицу 
можно вычислить командой charmat(A,lambda).
Задание 3.
1. Дана матрица 
. Найти ее собственные векторы и собственные числа.
> U:=matrix([[3,2-I],[2+I,7]]):
> eigenvectors(U);
, 
2. Дана матрица 
. Найти собственные векторы, собственные числа, характеристический многочлен и минимальный многочлен, Жорданову форму.
> A:=matrix([[3,-I,0],[I,3,0],[0,0,4]]):
> eigenvectors(A);
[2, 1, {([1, - I, 0])}], [4, 2, {([0, 0, 1]), ([- I, 1, 0])}]
> P(lambda):=charpoly(A,lambda);
> d(lambda):=minpoly(A,lambda);
> jordan(A);
3. Дана матрица 
. Привести матрицу А к Жордановой форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.
> A:=matrix([[1,-3,4],[4,-7,8],[6,-7,7]]):
> j:=jordan(A);
> g:=gausselim(A);
> F(A):=charmat(A,lambda);
Самостоятельно проверьте, чем будет отличаться результат выполнения команды ffgausselim(A) от gausselim(A) на этом примере.
§4. Системы линейных уравнений. Матричные уравнения
Системы линейных уравнений и матричные уравнения.
Система линейных уравнений 
может быть решена двумя способами.
Способ 1: стандартная команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в развернутом виде:
.
Способ 2: команда linsolve(A,b) из пакета linalg находит решение уравнения . Аргументы этой команды: А – матрица, b – вектор.
С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ = В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.
Ядро матрицы.
Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: 
. Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).
|
|
|
Задание 4.
1. Найти общее и одно частное решение системы: 
> eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2,
2*x-3*y-11*z-15*t=1}:
> s:=solve(eq,{x,y,z});
s:={ 
, y = y, 
}
Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:
> subs({y=1,t=1},s);
{ 
, 
, 1=1}
2. Решить матричное уравнение: АX = В; где 
, 
> A:=matrix([[1,2],[3,4]]):
> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):
> X:=linsolve(A,B);
3. Дана матрица 
. Найти ее ранг, дефект: d (A)= n – r (A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:
> A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):
> r(A):=rank(A);
r(A):=2
> d(A):=rowdim(A)-r(A);
d(A):=1
> k(A):=kernel(A);
k(A):={[-1,1,2]}
|
|
|
