 |
Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов
|
|
|
|
Первым замечательным пределом называется с/
(6.15)
□ Для доказательства формулы (6.15) рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть ОВ — подвижный радиус, образующий угол х
(0<х< —) с осью Ох (см. рис. 6.6.). Из
| __ гис. о.о |
геометрических соображений следует, что площадь треугольника АО В меньше площади сектора А ОВ, которая в$| свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника АОС, т.е.
| Так как |
| = -R-R-sinx =-R2 sinx, SceKm.A0B |
^К4ОВ " сект. ЛОВ ' J_
2" "----------- 2
1 1 I
= — АО ■ {АО ■ tg х) = — i?2tg х, то имеем
| или |
— R2 sin л: < — R2x < — Rhg x, откуда, разделив части двойного не
равенства на — R2 sin х > 0, получим 1 <----
| cos л: |
2 sin*
четные, то полученные нера-
венства справедливы и при — < х < 0. Переходя к пределу при х-»0, получим lim 1 = 1, limcosx =1 (обоснование этого факта
х>0 х»0
см. в примере 6.7). На основании признака существования пре
дела промежуточной функции lim----- =1.И
х->0 X
ОПример 6.4. Найти:
1-cosx
| a) lim |
| 4х |
; б) hm
_.,. sin6x 3.. sin6x 3, 3
г е ш е н и е: a) lim----- = — lim-------- = — • 1 = —;
х->о 4х 2x^-0 6х 2 2
sm-
| - = —lim |
| X |
„,. 1-cosx..
б) lim----- ^—=Ш11
Второй замечательный предел. Рассмотрим числовую последова-
| тельность а„ |
Л» 1 + —. Если вычислять значения членов после-
п)
довательности, то получим ах = 2,0, а2 =2,25, а3 = 2,37, а4 = 2,441, аь = 2,488,..., и можно предположить, что последовательность {а„} является возрастающей. Действительно, воспользуемся формулой бинома Ньютона1 (см. § 14.2):
| 1-2 и 1 |
1 я(л-1) 1 и(и-1)...(и-(и-1)) 1
| 1-2...я |
а„=\1+-\ = я/
или
| 1 |
| (6.16) |
1 I!|
а. =2 +--- 1--+...+ „
и 1-2V «J 1-2...л
С ростом я увеличиваются как число положительных слагаемых (их в формуле я+1), так и величина каждого слагаемого, т.е.
1 Стоящее в знаменателе общего члена произведение л первых чисел натурального ряда называется факториалам (обозначается л!, читается "эн факториал"): л!=1-2-3...(и-1)л.
|
|
|
Последовательность {а„ } является ограниченной. Это следует из (6.16), если дать оценку ап:
| ап <2 |
1-2 ■■■+1-2...л+'"< +2+"'+2и"1 ' (полученную после освобождения от скобок, каждая из которых меньше 1, и замены каждой из дробей большей дробью с двойками в знаменателе:
11 11
1-2-3 ^22' ■"' 1.2...и<2"-1)' ^11 сумма -+...+ — j представляет сумму Sn_x членов геометриче-
1 1
скои прогрессии с первым членом а - — и знаменателем q -—.
Имеем
л-1
-1
■ =!-■
2"~
Полагая у-—, найдем х=—; при х-+ <х> у-+ 0.
х У
В результате получается еще одна запись числа е:
| у) |
| е= |
(6.19)
Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции у=ех (см. рис. 7.8) получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию е, называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом In: log^ x = In x.
ОПример 6.5. Найти:
| (5 a) lim 1 + - x->«>V X Решение. |
| б) |
-ъу)у.
у->0
Ux
уЪх
| = ei5: |
| a) lim 1 + — = lim X->ooV XJ Х->к |
— lim
Х-+ао
 |
|
(\У
Так как Sn_x < 1, то а„ = 1 + — <2+1=3.
Согласно признаку существования предела монотонная и ое-
(\У
раниченная последовательность а„ = 1 + — имеет предел
V п)
Определение. Числом е (вторым замечательным пределом)
называется предел числовой последовательности
(6.17)
п-кю\ п)
Выше мы фактически установили, что 2<<КЗ. Более точно е»2,718281..., т.е. число е — иррациональное число.
Можно показать, что функция у=\ 1 + — при х-> +оо и при х-> -»
V XJ
(где х в отличие от натурального числа л "пробегает" все значения числовой оси — не только целые) имеет предел, равный числу е.
| (6.18) |
е= lim Г1 + — |.
X —>оо\ XJ
б) lim(l -Ъу)у = lim
= lirii
у->0
К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.
|
|
|
Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил Gb денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада Q, через t лет.
При использовании простых процентов размер вклада ежегод
но будет увеличиваться на одну и ту же величину --- Qn,
значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число
(1+1^)раз,т.е.
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а п раз, то при том же ежегодном приросте р% процент начисления
1 р -„
за —ю часть года составит —те, а размер вклада за t лет при nt
п п
начислениях составит
(6.20)
100 л
Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (и=2), ежеквартально (п=4), ежемесячно (я=12), каждый день (и=365), каждый час («=8760) и т.д., непрерывно (л-»оо). Тогда размер вклада за / лет составит
| 1(10 |
100»
| Qt = lim |
| о, и |
| юо« |
| 100« |
1+ ТоУ
| ■—>оо |
или с учетом (6.18) при х=
| ,100 |
(6.21)
Формула (6.21) выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р>0) или убывания (при /КО). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.
Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приводятся размеры вкладов Qt, вычисленные при Qq=1 ден.ед.,
р=5%, /=20 лет.
| Формула простых процен- | Формула сложных | процентов | Формула непрерывного начисления | ||||
| тов | п=\ | «=2 | «=4 | «=12 | «=365 | процентов | |
| Размер вклада, ден.ед. | 2,0000 | 2,6355 | 2,6851 | 2,7015 | 2,7126 | 2,7181 | 2,7182 |
Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле (6.21) непрерывного начисления процентов по сравнению с
формулой (6.20) сложных процентов, начисляемых ежегодно (я=1), при одной и той же процентной ставке (/7=5%) оказалась незначительной (около 2,5%).
Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.
Непрерывность функции
|
|
|
Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.
Определение 1. Функция Дх) называется непрерывной в точке
| (6.22) |
х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке л:0 (т.е. существует Дх0)); 2) имеет конечный предел функции при х->х0; 3) этот предел равен значению функции в точке х^, т.е.
lim /(*) =
л- ->хп
| 2 |
| г) |
ОПример 6.6. Исследовать непрерывность в точке х=0 заданных функций:
Рис. 6Л
Решение, а) В точке х = 0 функция у =/(х) (см. рис. 6.7а) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности — существование /(0).
6 Высшая математика для экономистов
б) В точке х = 0 функция у - Дх) (см. рис. 6.76) не является
непрерывной — первое условие непрерывности выполнено, ДО)
существует (ДО) = 1), но нарушено второе условие — отсутствует
lim/(x) (точнее говоря, здесь существуют односторонние преде-
лы функции слева lim /(*)=-1 и справа lim /(х)=1, но обще-
го предела при х-»0 не существует).
в) В точке х = 0 функция у = Дх) (см. рис. 6.7в) не является
непрерывной — первые два условия непрерывности выполнены
— существуют/(0) (ДО) =1) и конечный предел lim/(x)=0, но
дг->0
нарушено третье основное условие: lim f(x) *Д0).
г) В точке х = 0 функция у = Дх) (см. рис. 6.7г) непрерывна,
так как выполнены все три условия непрерывности — lim /(x) =
х-->0
=Д0)=0>
Определение непрерывности функции (6.22) в точке х0 может
быть записано и так:
lim /(*) = /(lim х), (6.23)
|
| Уо+АУ |
т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Рис. 6.8
Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).
Сформулируем еще одно, второе определение непрерывности.
Дадим аргументу х0 приращение Дх. Тогда функция у=Дх) получит приращение Ду, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: Ду=Дх0 + Дх)-Дх0) (см.рис.6.8).
Определение 2. Функция у = Дх) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому
|
|
|
приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
| (6.24) |
lim Ду= 0.
Дх->0
□ Убедимся в равносильности двух приведенных определений непрерывности. Из первого определения согласно (6.22) при х=хо+Дх следует lim /(х0 + Лх) =/(х0), так как стремление
Лх->0
х-> х0 равносильно условию Дх-»0.
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать /(хд + Дх) = /(хо) + а(Лх), где а(Дх) =/(хо + Дх)-/(хо)=Ду есть бесконечно малая при Дх-»0, т.е. lim Ay = 0.■
Точка х0 называется точкой разрыва функции Дх), если эта
функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х-»х0, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так, точка хо= 0 на рис. 6.76 — точка разрыва первого рода, а на рис.6.7а — точка разрыва второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при х-»х0 существует, но не равен
значению функции в этой точке. Так, точка хо= 0 на рис. 6.7в
является точкой устранимого разрыва. Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Если функции fix) и ф(х) непрерывны в точке х0, то их сумма
| /(*) Ф(х) |
| {при условии |
Дх)+ф(х), произведение Дх)ср(х) и частное
ф(х0)*0) являются функциями, непрерывными в точке х0.
| Рис. 6.10 |
Доказательство теоремы следует из определения непрерывности и аналогичных свойств пределов функций.
2. Если функция у = Дх) непрерывна в точке х0 и Дхо)>(), то
существует такая окрестность точки х0, в которой Дх)>0.
Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента Дх->0 в соответствии со вторым определением непрерывности функции (6.24) можно получить как угодно малое приращение функции Ду, так что знак функции у=Дх) в окрестности (х0—Дх, хо+Дх) не изменится.
3. Если функция y—f(u) непрерывна в точке щ,, а функция и=ц>(х)
непрерывна в точке uq =^р(х0), то сложная функция у=/[ц>(х)] не
прерывна в точке х0.
Доказательство состоит в том, что малому приращению аргумента Ах->0 в силу второго определения непрерывности (6.24) функции и=ц>(х) соответствует как угодно малое приращение Ди-Я), приводящее в свою очередь в силу того же определения непрерывности функции y—f{u) к как угодно малому приращению Ау->0.
Свойство 3 может быть записано в виде
lim /[<р(х)] = / Hm <р(х),
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Функция у = Дх) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.
|
|
|
[>Пример 6.7. Доказать непрерывность функции y=cas x. Решение. Найдем lim Ay = lim (cos(x + Ax) - cos x) =
Л*->0 Дд:~>0
2x + Ax. Ax
= 2 lim cos
Лх->0
| (6.251 |
| 2x + дх |
| cos- |
| sin — =0, так как |
| ...Ax 1.. fsm(Ax/2) A \ 1.. sin(Ax/2).. A hm sin — = - lim — |
| Ах/2 |
= — •1-0 = 0, т.е. lim Ay=0, и по второму определению непре-
2 ДЛГ-+О
рывности (6.24) функция.y=cos x является непрерывной на всей числовой ^
Замечание. Еще раз подчеркнем, что непрерывность функции в любой точке области определения гарантируется лишь для элементарных функций. Рассмотрим в качестве примера функцию Дх) = [х] (читается "у равно антье х"), где [х] — целая часть числа х, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее х
(например, [2,6] = 2, [-2,6] =-3). В точке х =- функция Дх)=
=[х] непрерывна, ибо lim/(х) = / — =1, а в точке х = 1 эта
функция определена — Д1) = 1, но терпит разрыв, ибо lim/(x)
не существует (точнее существуют неравные между собой конечные пределы функции слева lim /(x) =0 и справа lim /(x)=l)
х\0 10
| (см.рис.6.9). У, |
\-0
| У=[х) |
| 3" 2-!■ |
Это связано с тем, что Дх)= =[х] не является элементарной функцией, и, хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция у = Дх) не-
| -1° |
~ТН---- 1 I---!-"► прерывна на отрезке [я, Ь], то
~2 ^ она ограничена на этом отрезке
Рис. 6.9 (см. рис. 6.10).
|
| Рис. 6.11 |
2. Если функция у = Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М (теорема Вей- ерштрасса) (см.рис. 6.11).
|
Раздел III
|
|
|
