Формирование понятия геометрической вероятности

Уже в первой половине 18 века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо какое-то естественное его расширение. Обычно считают, что таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (1707–1788), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение. Однако, задолго до рождения Бюффона появилась работа, в которой фактически уже был поставлен вопрос о нахождении геометрической вероятности. В 1692 г. в Лондоне был опубликован английский перевод книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх», выполненный Д. Арбутнотом (1667–1735). В конце первой части переводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована задача совсем иной природы, по сравнению с теми, которые были рассмотрены великим автором. Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении «для того, чтобы она была решена теми, кто считает такого рода проблемы достойными внимания». Задача, предложенная Арбутнотом состоит в следующем: на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед, с ребрами, равными , , . Спрашивается, как часто параллелепипед будет выпадать гранью ? Сам Арбутнот не сделал даже попытки решить придуманную им задачу. Это было осуществлено значительно позднее Т. Симпсоном (1710–1761) в книге «Природа и законы случая». Идея решения состоит в следующем: опишем около параллелепипеда сферу и спроектируем из центра на поверхность ее все ребра, боковые грани и основания. В результате поверхность сферы разобьется на шесть непересекающихся областей, соответствующих граням параллелепипеда. «Нетрудно заметить, что определенная часть сферической поверхности, ограниченная траекторией, описанной таким образом радиусом, будет находиться в таком же отношении к общей площади поверхности, как вероятность появления некоторой грани к единице». Здесь заключены принципы разыскания геометрических вероятностей: вводится мера множества благоприятствующих событию случаев и берется ее отношение к мере множества всех возможных случаев. В нашем случае полная мера сводится к площади поверхности шара.

Бюффон дважды публиковал работы, посвященные геометрическим вероятностям. Первая публикация относится к 1733 г., когда он сделал в Парижской академии наук доклад, напечатанный под названием «Мемуар об игре под названием франк-карро». Цель, которую ставил перед собой Бюффон, состояла в том, чтобы показать, что «геометрия может быть использована в качестве аналитического инструмента в области теории вероятностей», в то время, как до тех пор «геометрия казалась мало пригодной для этих целей», поскольку для них использовалась только арифметика. Игра франк-карро состоит в следующем: пол разграфлен на одинаковые фигуры. На пол бросается монета, ее диаметр  меньше каждой из сторон и монета целиком укладывается внутрь фигуры. Чему равна вероятность того, что брошенная наудачу монета пересечет одну или две стороны фигуры?

Для определенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольниками со сторонами , . Легко подсчитать, что площадь полосы между основным прямоугольником со сторонами, параллельными сторонам основного на расстоянии от каждой из его сторон и целиком расположенного внутри основного, равна . Легко понять, что центр монеты, попав внутрь малого прямоугольника, не только не пересечет, но даже не коснется сторон основного. Значит, вероятность того, что монета пересечет по меньшей мере одну из сторон основного прямоугольника равна .

Вторая задача, сформулированная Бюффоном, состоит в следующем: плоскость разграфлена равноотстоящими параллельными прямыми. На плоскость наудачу бросается игла. Один игрок утверждает, что игла пересечет одну из параллельных прямых, другой, что не пересечет. Определить вероятность выигрыша каждого из игроков. Менее известна задача об игре, когда игла бросается на плоскость, разграфленную на квадраты. В решении этой задачи Бюффон допустил ошибку, позднее исправленную Лапласом.

После Бюффона задачи на геометрические вероятности стали систематически включаться в трактаты и учебники по теории вероятностей. В прекрасном для своего времени учебнике «Основания математической теории вероятностей» (1846) В.Я. Буняковского (1804–1889) имеется большой раздел, посвященный геометрической вероятности. В него включена задача Бюффона о бросании иглы и частный случай игры франк-карро, когда плоскость разбита на равнобедренные треугольники.

Серьезный шаг в развитии геометрических вероятностей связан с именами Ламе (1795–1870), Барбье, Д. Сильвестра (1814–1897), М. Крофтона, которые не просто поставили новые задачи, но и привлекли к их решению понятие меры множества. На базе их рассмотрений позднее возникла новая ветвь геометрии, получившая название интегральная геометрия.

Сильвестр первый после Бюффона расширил тематику задач на геометрические вероятности. Им была предложена задача о четырех точках или задача Сильвестра: четыре точки взяты наудачу внутри выпуклой области. Чему равна вероятность того, что, взяв эти точки в качестве вершин, можно составить выпуклый четырехугольник?

Сильвестр отчетливо понимал, что при вычислении геометрических вероятностей приходится брать отношение площадей или объемов тех областей, которые благоприятствуют событию и в которых помещаются всевозможные события. Фактически так поступали и раньше. Но при этом произносили другие слова, которые или не имели определенного смысла или же не соответствовали производимым действиям. Сравнив результаты вычислений для различных областей, Сильвестр предложил найти те области, для которых вероятность получения выпуклого четырехугольника достигает максимума или минимума. Первые результаты принадлежат Крофтону. Он доказал, что минимум достигается для круга. Там же он высказал предположение, что минимум достигается и для эллипса. Это предложение было доказано лишь В. Блашке (1923). Дельтейль показал, что максимальная вероятность формирования выпуклого четырехугольника достигается для треугольной области. Несомненно, что в 19 веке на развитие проблематики геометрических вероятностей особое влияние оказал Крофтон. Он начал изучать пересечение случайными прямыми заданных выпуклых контуров.

На необходимость совершенствования понятия геометрической вероятности несомненное влияние оказала книга Ж. Бертрана (1822–1900), в которой на хорошо подобранных примерах было показано, что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики. Играя на неопределенности терминологии, казалось бы для одной и той же задачи, ему удалось получить несколько разных ответов. В качестве основной мишени им была выбрана задача о проведении наудачу хорды внутри круга. Критика Бертрана привлекла внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей.

В 20 веке интерес к геометрическим вероятностям не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и т.д.