Формирование понятия случайной величины

Ведение понятия случайной величины связано с именами многих ученых, которые хотя и не использовали этого термина, но фактически исследовали отдельные его свойства.

Начиная с Котса, Симпсона и Н. Бернулли в 18-ом веке начала развиваться теория ошибок наблюдений, возникшая в первую очередь под влиянием астрономии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ упомянутых ученых. Он же ввел в обиход термин «случайная» и «систематическая ошибка» измерения. Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдения. Первая же зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению. Теперь мы ясно видим, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей.

Но с понятием случайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел число появлений интересующего его события в  независимых испытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения  с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной: числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше, он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей. Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия случайной величины.

Первоначально считалось, что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разностью. Затем постепенно от этого предположения отказались и стали представлять себе, что возможные значения, принимаемые ошибками наблюдений, заполняют целый отрезок, вероятности возможных значений определялись посредством плотности распределения. И если Д. Бернулли в отношении плотности распределения вероятностей допускал еще определенные вольности, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра с плотностью распределения уже было все в порядке. Это была неотрицательная функция, интеграл которой по всей прямой равен 1, а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялся интегралу от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже была известна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределения слагаемых. В книге «Аналитическая теория вероятностей» Лаплас умело оперирует с плотностями распределения, ставит и решает ряд интересных задач, но нигде не вводит понятия случайной величины. Он либо использует язык теории ошибок измерений, либо язык математического анализа и не ощущает потребности в новом понятии теории вероятностей.

Первая половина 19-го века принесла новые задачи, которые нуждаются в понятии случайной величины. Прежде всего, это исследования бельгийского естествоиспытателя А. Кетле (1796–1874), заметившего, что размеры органов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению. Изучение уклонений снаряда от цели явилось предметом исследования многих ученых; они также пришли к выводу о нормальном распределении этой величины.

Многочисленные исследования многих крупных математиков подготовили почву для введения понятия случайной величины. По-видимому, первый шаг был сделан Пуассоном в мемуаре 1832 г. «О вероятности средних результатов наблюдений». Термина случайная величина у Пуассона еще нет, но он пишет о «некоторой вещи», которая способна принять значения  соответственно с вероятностями . Он рассмотрел также непрерывные случайные величины и их плотности распределения.

Итак, Пуассоном был сделан важный шаг в науке, он ввел в научный обиход новое понятие – случайную величину. Его первоначальный термин «вещь» не привился и вскоре перестал употребляться. Чебышев в своих мемуарах по теории вероятностей уже использует термин «величина» и автоматически считает все случайные величины, с которыми имеет дело, независимыми. В работе же Ляпунова по теории вероятностей систематически используется термин «случайная величина» и всюду, где это необходимо, оговаривается, что автор имеет дело с независимыми случайными величинами.

Определение случайной величины, данное Пуассоном, теперь уже не может считаться математическим. Это скорее описание реального объекта изучения, обращение к интуиции, полученной в результате научного и житейского опыта. Даже несложный логический анализ этого определения показывает, что из него совсем не следуют правила для действий над случайными величинами. Для того, чтобы случайная величина приобрела статус полноценного математического понятия, ей необходимо дать строго формализованное определение. Это было сделано в конце 20-х годов А.Н. Колмогоровым в небольшой статье, посвященной аксиоматике теории вероятностей, а затем в подробностях изложено в его знаменитой книге «Основные понятия теории вероятностей». Подход Колмогорова стал теперь общепринятым, поскольку он полноценно включил теорию вероятностей в общий стиль современного изложения, принятый в математике.

Закон больших чисел

Знаменитая теорема Я. Бернулли о сближении при увеличении числа наблюдений вероятности события  с частотой его появления получила первое обобщение лишь в 1837 г. в работе Пуассона «Исследования о вероятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских». Именно в этом мемуаре он ввел сам термин «закон больших чисел». Но его результаты не внесли в теорию вероятностей существенного прогресса, поскольку в идейном плане они не выходили за пределы концепции Я. Бернулли. Существенный сдвиг в этом направлении связан с работой Чебышева «О средних величинах» (1867). В этой работе он перешел от рассмотрения случайных событий к случайным величинам. Теорема Чебышева теперь излагается во всех учебниках теории вероятностей. Она неоднократно позднее служила источником обобщений.

В 1909 г. Э. Борель для  показал, что в случае схемы Бернулли имеет место более сильное предложение, чем закон больших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г. это предложение на произвольное  распространил итальянский математик Кантелли, что .

Это предложение получило наименование усиленного закона больших чисел. Широкое обобщение усиленного закона больших чисел было дано Колмогоровым в работе 1930 г., а также в 1934 г. в его монографии «Основные понятия теории вероятностей».

В 1935 г. Хинчин ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, которое должно было дать максимально общую форму закона больших чисел для положительных случайных величин. Пусть  последовательность неотрицательных случайных величин. Про суммы  говорят, что они относительно устойчивы, если можно найти такие положительные константы , что при  выполнено соотношение .

В случае одинаково распределенных величин   Хинчину удалось найти необходимое и достаточное условие для относительной устойчивости сумм . Ученик Хинчина А.А. Бобров распространил этот результат на случай разнораспределенных слагаемых.

Существенное расширение проблематики, связанной с законом больших чисел, было осуществлено В.И. Гливенко в работах, относящихся к 1929–1933 гг., когда он начал рассматривать предельные теоремы для случайных величин со значениями в функциональных пространствах. Вершиной его результатов является замечательная теорема о сходимости эмпирических распределений к истинной функции распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема Гливенко, сразу же после ее опубликования, была названа Кантелли основной теоремой математической статистики.