Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Краткий теоретический материал к задаче 3

Образец решения задач и их оформления

Краткий теоретический материал к задаче 1

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть – произвольная область пространства. Будем говорить, что в области задано скалярное поле, если в этой области задана скалярная функция , .

Функция , определяющая скалярное поле, называется функцией поля в пространстве.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Пусть – заданное скалярное поле в области , – заданная точка, а

– заданный единичный вектор.

Производная скалярного поля в точке по направлению единичного вектора , обозначаемая , вычисляется по формуле

(1) .

Пусть – произвольный ненулевой вектор. Если не является единичным вектором, то для вычисления производной скалярного поля в точке по направлению вектора , необходимо найти единичный вектор , сонаправленный с вектором :

а затем, полагая,

используют формулу (1).

ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Пусть – заданное скалярное поле в области . Градиентом скалярного поля , обозначаемым символом , называется вектор, проекциями которого являются частные производные функции по соответствующим переменным:

Градиент скалярного поля в точке вычисляется по формуле

Задача 1

Даны скалярное поле и точки и . Вычислить:

1) производную функции в точке по направлению вектора ;

2) градиент функции в точке .

Задача 1 Образец

Решение

1) Производная от функции в точке по направлению вектора находится по формуле

где , , – направляющие косинусы вектора , то есть проекции единичного вектора на координатные оси. Имеем

, , .

Найдем частные производные функции :

и вычислим их значения в точке

Таким образом,

2) Градиент функции в точке вычисляется по формуле

Используя вычисленные ранее значения частных производных, имеем

Ответ: 1) ,

2) .

Краткий теоретический материал к задаче 2

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть – произвольная область пространства. Будем говорить, что в области задано векторное поле, если в этой области задана векторная функция

(1) ,

где

(2)

– заданные функции.

Векторная функция , определяющая векторное поле, называется функцией поля в пространстве.

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Потоком векторного поля через поверхность в направлении единичного нормального вектора называется поверхностный интеграл

(3) ,

где – скалярное произведение векторов и , а – дифференциал площади поверхности .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКА ЧЕРЕЗ ЧАСТИ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим задачу вычисления потока векторного поля через заданную поверхность в направлении единичного нормального вектора .

Если поверхность в пространстве задана уравнением

(4) ,

то единичный нормальный вектор в точке определяется равенством

(5)

Знак или берется в зависимости от выбранной стороны двусторонней поверхности .

Если поверхность является плоскостью, заданной уравнением

(6) ,

то единичный нормальный вектор во всех точках имеет одно и то же значение, и равное

(7) .

Если поверхность однозначно проектируется на плоскость в область , то дифференциал площади поверхности равен

(9)

и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла по области :

(10) ,

где получается из уравнения поверхности (4).

Задача 2

Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду с вершиной в начале координат. Пусть – основание пирамиды. Вычислить поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали .

Задача 2 Образец

Решение

Рассматриваемая пирамида и ее проекция на плоскость изображены на рисунке.

Поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали найдем с помощью поверхностного интеграла

Нормальным вектором плоскости является вектор . Так как единичный нормальный вектор поверхности образует с осью острый угол, то . Поэтому, направляющими косинусами нормального вектора являются