Дивергенция векторного поля
Пусть в области
задано векторное поле
(1)
,
где
(2) 
– заданные непрерывные функции.
Дивергенцией векторного поля
называется скалярная функция
(3)
.
ФОРМУЛА ГАУССА–ОСТРОГРАДСКОГО
Пусть
– пространственное тело,
– поверхность, ограничивающая область
, а
– внешний единичный нормальный вектор к поверхности
в точке
.
Если функции
,
,
непрерывны в области
и частные производные
,
,
– суть непрерывные функции в этой области, то поток векторного поля
через замкнутую поверхность
в направлении внешней нормали, равен тройному интегралу от дивергенции
по области
:
(4)
.
Эта формула называется формулой Гаусса – Остроградского.
Задача 3
Вычислить поток векторного поля
через всю поверхность тела
в направлении внешней нормали.
Задача 3 Образец
|
|
Решение
Поток векторного поля
через всю поверхность тела
в направлении внешней нормали, вычислим по формуле Гаусса-Остроградского
,
где
– дивергенция векторного поля,
– элемент объема.
Дивергенция
данного векторного поля
вычисляется по формуле
.
По условию задачи
.
Поэтому,
,
,
,
.
Таким образом,
.
Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам:
.
Данное тело
и его проекцию
на плоскость
изобразим на рисунке.

Найдем границы изменения переменных интегрирования и подынтегральные данные в новых переменных:
,
,
,
,
,
.
Произведем вычисления:








.
Ответ: 
Краткий теоретический материал к задаче 4
ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть в области
задано векторное поле
(1)
,
где
(2) 
– заданные непрерывные функции.
Пусть также задана гладкая кривая
, на которой выбрано положительное направление (положительная ориентация). Через
обозначим единичный вектор, касательный к кривой
, направление которого совпадает с направлением кривой
.
Линейным интегралом от векторного поля
вдоль ориентированной кривой
называется криволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения
:
(3)
,
где
– дифференциал длины дуги
кривой
.
Если
– радиус-вектор произвольной точки
кривой
, то справедливо равенство
(4)
.
Линейный интеграл можно записать с помощью криволинейного интеграла второго рода:
(5)
.
Если
является силовым полем, то линейный интеграл определяет величину работы этого поля вдоль линии
.
Если
является замкнутой кривой (замкнутым контуром), то линейный интеграл называется циркуляцией
векторного поля
по замкнутому контуру
:
.
РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Ротором ( или вихрем) векторного поля
называется векторная функция определяемая равенством
(6)
.
Ротор векторного поля можно также вычислить как определитель третьего порядка
(7)
.
ФОРМУЛА СТОКСА
Пусть координаты векторного поля
– функции
,
,
непрерывные и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля
по замкнутому контуру
равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность
, натянутую на контур
:
,
где направление единичного нормального вектора
согласовано с ориентацией контура
, то есть из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден против хода часовой стрелки.
Эта формула называется формулой Стокса.
Задача 4
При помощи теоремы Стокса найти циркуляцию векторного поля
по замкнутому контуру, образованного пересечением плоскости
с координатными плоскостями в положительном направлении оси
:
Задача 3 Образец
|
|
Решение
Для составления чертежа запишем уравнение плоскости
в «отрезках»:
.
Найдем точки пересечения этой плоскости с координатными осями:
;
Замкнутым контуром
является замкнутая ломанная
треугольника
. Из таблицы 3 определим, что этот треугольник принадлежит
октанту.
Проекцию треугольника
на плоскость
обозначим через
.
Составим чертеж.

Запись в условие задачи: «в положительном направлении оси
» означает, что если смотреть из конца оси
на обход контура
, то его направление будет противоположно ходу часовой стрелки. Таким же свойством должен обладать единичный нормальный вектор плоскости
. Из двух нормальных векторов плоскости
и
,
только первый обладает этим свойством. Соответствующим единичным нормальным вектором является вектор
,
составляющий острый угол с положительным направлением оси
.
Ротор векторного поля вычисляется по формуле:

.
По условию задачи
.
Найдем частные производные:
,
,
,
,
,
.
Вычислим ротор:

.
Циркуляцию
векторного поля
по замкнутому контуру
можно вычислить по формуле Стокса
,
где
– элемент площади поверхности
, то есть треугольника
с замкнутым контуром
.
Так как

,
,
,
то подставляя из уравнения плоскости
значения
:
,
получим

.
Найдем искомую циркуляцию:


.
Ответ: 
Воспользуйтесь поиском по сайту: