Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Дивергенция векторного поля

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пусть в области задано векторное поле

(1) ,

где

(2)

– заданные непрерывные функции.

Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция

(3) .

ФОРМУЛА ГАУССА–ОСТРОГРАДСКОГО

Пусть – пространственное тело, – поверхность, ограничивающая область , а – внешний единичный нормальный вектор к поверхности в точке .

Если функции , , непрерывны в области и частные производные , , – суть непрерывные функции в этой области, то поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, равен тройному интегралу от дивергенции по области :

(4) .

Эта формула называется формулой Гаусса – Остроградского.

Задача 3

Вычислить поток векторного поля через всю поверхность тела в направлении внешней нормали.

Задача 3 Образец

Решение

Поток векторного поля через всю поверхность тела в направлении внешней нормали, вычислим по формуле Гаусса-Остроградского

где – дивергенция векторного поля, – элемент объема.

Дивергенция данного векторного поля вычисляется по формуле

По условию задачи

Поэтому,

Таким образом,

Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам:

Данное тело и его проекцию на плоскость изобразим на рисунке.

Найдем границы изменения переменных интегрирования и подынтегральные данные в новых переменных:

Произведем вычисления:

Ответ:

Краткий теоретический материал к задаче 4

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть в области задано векторное поле

(1) ,

где

(2)

– заданные непрерывные функции.

Пусть также задана гладкая кривая , на которой выбрано положительное направление (положительная ориентация). Через обозначим единичный вектор, касательный к кривой , направление которого совпадает с направлением кривой .

Линейным интегралом от векторного поля вдоль ориентированной кривой называется криволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения :

(3) ,

где – дифференциал длины дуги кривой .

Если – радиус-вектор произвольной точки кривой , то справедливо равенство

(4) .

Линейный интеграл можно записать с помощью криволинейного интеграла второго рода:

(5) .

Если является силовым полем, то линейный интеграл определяет величину работы этого поля вдоль линии .

Если является замкнутой кривой (замкнутым контуром), то линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру :

РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Ротором ( или вихрем) векторного поля называется векторная функция определяемая равенством

(6) .

Ротор векторного поля можно также вычислить как определитель третьего порядка

(7) .

ФОРМУЛА СТОКСА

Пусть координаты векторного поля – функции , , непрерывные и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность , натянутую на контур :

где направление единичного нормального вектора согласовано с ориентацией контура , то есть из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден против хода часовой стрелки.

Эта формула называется формулой Стокса.

Задача 4

При помощи теоремы Стокса найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями в положительном направлении оси :

Задача 3 Образец

Решение

Для составления чертежа запишем уравнение плоскости в «отрезках»:

Найдем точки пересечения этой плоскости с координатными осями:

;

Замкнутым контуром является замкнутая ломанная треугольника . Из таблицы 3 определим, что этот треугольник принадлежит октанту.

Проекцию треугольника на плоскость обозначим через .

Составим чертеж.

Запись в условие задачи: «в положительном направлении оси » означает, что если смотреть из конца оси на обход контура , то его направление будет противоположно ходу часовой стрелки. Таким же свойством должен обладать единичный нормальный вектор плоскости . Из двух нормальных векторов плоскости

и ,