Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краткий теоретический материал к задачам 5 – 7




ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Основные понятия, связанные с функцией комплексной переменной, вводятся так же, как и в вещественном случае.

Пусть и – два множества комплексных чисел. Если каждому комплексному числу ставится в соответствие комплексное число , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной (ФКП), принимающая значения в множестве :

.

Если записать числа и в алгебраической форме

,

то действительная часть и мнимая часть ФКП являются функциями вещественных переменных и :

.

 

ПРЕДЕЛ ФКП

Комплексное число называется пределом ФКП в точке , если существуют пределы вещественной части и мнимой части ФКП в точке и имеют место равенства

.

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФКП

ФКП называется непрерывной в точке , если вещественные функции и , являются непрерывными в точке .

Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в области точке .

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФКП

Производной ФКП в точке называется величина

и обозначается :

.

Запись означает стремление к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в точке . Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке, то есть если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

 

УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА

Если ФКП дифференцируема в точке , то в точке существуют частные производные ее действительной части и мнимой части у имеют место равенства

(1)

Равенства (1) называются условиями Коши-Римана.

Если данные функции и дифференцируемы в точке и в этой точке выполняются условия Коши-Римана (1), то функция дифференцируема в точке .

Для производной функция справедливо любое из следующих представлений:

, ,

, .

 

ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФКП

 

Пусть дана вещественная функция . Требуется определить ФКП таким образом, чтобы при ее свойства совпадали с известными свойствами функции . Для решения поставленной задачи используется ряд Тейлора функции :

.

Подставляя в ряд Тейлора вместо вещественной переменной комплексную переменную , получим степенной ряд, которого и примем в качестве функции :

.

Используя вышеприведенный способ определения ФКП, введем простейшие элементарные функции (многочлен степени , показательную функцию , тригонометрические функции и , гиперболические функции и , логарифмическую функция ).

1) Многочлен степени

определяется естественным образом, как сумма различных степеней .

2) Для показательной функции получим представление

(2) .

Отсюда, в частности, получим равенство

,

которое называется формулой Эйлера.

Подставим в (2) вместо комплексно сопряженное число :

(3) .

Равенства (2) и (3) позволяют представить тригонометрические функции и от вещественной переменной , через функций комплексной переменной и :

(4) .

3) Тригонометрические функции и представляются равенствами

(5) ,

(6) ,

где

– гиперболический косинус,

– гиперболический синус.

4) Тригонометрические функции и определяются как соответствующие вещественные функции:

.

5) Для гиперболических функций и получаются равенства

(7) ,

(8) .

6) Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции . Как и многие обратные функции логарифмическая функция определяется неоднозначно:

(9) .

Значение, которое получается из (9) при :

(10) .

называется главным значением логарифма.

 

СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

 

Имеют место равенства:

,

.

 

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

 

Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Для исследования функции на аналитичность требуется выполнить следующие действия:

1) найти вещественную и мнимую части функции :

;

2) найти частные производные функций и :

;

3) проверить выполнение условия Коши-Римана

в исследуемой области.

 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

 

Вещественная функция двух переменных называется гармонической в области , если она в этой области:

а) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно;

б) удовлетворяет уравнению

(11) ,

где

(12)

называется оператором Лапласа.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...