 |
Сопряженные гармонические функции
|
|
|
|
Две гармонические функции двух переменных 
и 
называются сопряженными гармоническими функциями в области 
, если они удовлетворяю условиям Коши-Римана.
Если ФКП 
аналитическая в области , то ее вещественная и мнимая части являются сопряженными гармоническими функциями в этой области.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО
ЗАДАННОЙ ЕЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ИЛИ МНИМОЙ ЧАСТИ
Для восстановления аналитической функции по заданной одной из ее частей необходимо выполнить следующие действия:
а) найти частные производные до второго порядка заданной функции двух переменных и проверить, что они удовлетворяют уравнению Лапласа;
б) найти сопряженную гармоническую функцию с помощью условий Коши-Римана;
в) записать ФКП 
; одна из функций 
или 
– заданная гармоническая функция, другая гармоническая функция найдена в пункте б), а 
– произвольная постоянная;
г) если задано значение искомой функции 
в некоторой точке из области аналитичности, то необходимо найти значение постоянной
Задача 5
Дана функция комплексной переменной и точка 
. Вычислить 
и ответ представить в алгебраической форме.
| Задача 5 Образец |
 .
|
Решение
Из Приложений 1 и 2 находим:
;
.
Так как
,
то имеем
.
Ответ: 
Задача 6
Дана функция комплексной переменной . 1) определить действительную и мнимую части функции и 2) проверить выполнение условий Коши-Римана.
| Задача 6 Образец |
 .
|
Решение
Из Приложения 1 находим:
,
.
Тогда
;
,
.
Найдем частные производные 
и 
:
,
.
Первое из условий Коши-Римана имеет место. Проверим второе:
,
.
Имеет место и второе из условий Коши-Римана.
Ответ: 1) ,
|
|
|
;
2) имеют место условия Коши-Римана.
Задача 7
Проверить, что данная функция является вещественной частью ( является мнимой частью) аналитической функции . Восстановить аналитическую функцию по данной функции и 
(по данной функции и 
).
| Задача 7 Образец |
 .
|
Решение
Проверим гармоничность . Найдем частные производные 
и 
:
,
,
,
.
Так как
,
то функция является гармонической. Найдем гармоническую сопряженную функцию .
Из первого из условий Коши-Римана 
получаем равенство
.
Интегрируем это равенство по 
:
,
где 
– произвольная дифференцируемая функция. Отсюда
.
Вычислим 
:
.
Из второго из условий Коши-Римана 
получаем равенство
,
,
,,
где – произвольная постоянная. Согласно условию 
получаем, что 
. Поэтому
.
Используя Приложение 1 найдем аналитическую функцию :
.
Ответ: 
.
Задача 8
С помощью операционного исчисления найти частное решение данного дифференциального уравнения с данными начальными условиями.
| Задача 8 Образец |
 .
|
Решение
Используя свойства интегрального преобразования Лапласа, а также таблицу оригиналов и изображений (Приложение 3), найдем изображения по Лапласу всех элементов данной начальной задачи:
,
,
.
Таким образом, изображение по Лапласу рассматриваемой начальной задачи имеет вид:
,
,
,
.
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим полученное операторное решение в сумму простейших дробей:
.
Решением полученной системы является:
.
Переписав операторное решение с учетом найденных коэффициентов, получим
.
Используя таблицу изображений к оригиналов (Приложение 3), получим
,
,
,
.
Подставим полученные оригиналы в операторное решение:
,
.
Ответ: 
.
Задача 9
С помощью операционного исчисления найти частное решение данной системы дифференциальных уравнений соответствующее данными начальным условиям.
|
|
|
| Задача 9 Образец |
 .
|
Решение
По таблице оригиналов и изображений (Приложение 3), будем иметь:
,
,
.
Получим систему в изображениях:
,
Полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 
и 
решим методом Крамера:
,
,
,
Полученное операторное решение системы разложим в сумму простейших дробей:
,
,
Искомыми разложениями являются:
.
Найденным изображениям сопоставим их оригиналы (Приложения 3):
,
,
.
Таким образом, нами получено искомое решение:
,
.
Ответ: 
,
.
| Задача 10 Образец |
| Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. |
Решение
Обозначим рассматриваемое событие буквой 
:
– «сумма выпавших очков равна 8».
Вероятность 
этого события находим по классической схеме:
,
где 
– число всех возможных исходов, 
– число исходов, благоприятствующих появлению события .
Число всех исходов равно 36: 
, а число благоприятствующих исходов равно 5: 
. Поэтому
.
Ответ: 
.
| Задача 11 Образец |
| Среди 9 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 3 билета. Найти вероятность того, что среди них 2 выигрышных. |
Решение
Обозначение:
– «из 3 билетов 2 выигрышных».
Три билета из числа 9 можно выбирать 
способами. Два выигрышных билета берут из числа 6: 
, а одного билета без выигрыша – из числа 
оставшихся билетов: 
. Поэтому, число благоприятствующих исходов равно 
. Так как
,
,
то
.
Ответ: 
.
| Задача 12 Образец |
| Для первого стрелка вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7, для второго – 0,8, а для третьего 0,6. Каждый стрелок сделал по одному выстрелу по мишени. Найти вероятность того, что в мишень попал: 1) только один стрелок; 2) хотя бы один стрелок. |
Решение
1) Обозначение:
– «в мишень попал только один стрелок»,
– «в мишень попал 
-й стрелок» 
.
Событии складывается из суммы трех несовместных событий:
.
В нашем случае:
Используя теорему о вероятности суммы несовместных событий и теорему о вероятности произведения независимых событий, получим
.
Обозначение:
– «в мишень попал хотя бы один стрелок»,
Вероятность появления хотя бы одного события удобно находить через вероятность противоположного события:
|
|
|
,
где 
– «в мишень не попал ни один стрелок». Так как 
, то
,
.
Ответ: 1) 
,
2) 
| Задача 13 Образец |
| Из 1000 ламп 230 принадлежат первой партии, 480 – второй партии и 290 – третьей партии. В первой партии 6% бракованных ламп, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампе. Найти вероятность того, что выбранная лампа – бракованная. |
Решение
Обозначение:
– «выбранная лампа – бракованная».
Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности, рассчитанной на три гипотезы – 
, 
, 
,
где 
– «выбранная лампа из -й партии», 
– вероятность бракованной лампы в -й партии . Так как
то
.
Ответ: 
.
| Задача 14 Образец |
| Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что герб выпал 2 раза. Найти наивероятнейшее число выпадений герба при 7 бросаниях монеты. |
Решение
Обозначение:
– «герб выпал 2 раза при 7 бросаниях монеты».
Вероятность находится по формуле Бернулли
,
где 
– вероятность выпадения герба при каждом бросании монеты, 
– вероятность выпадения цифры при каждом бросании монеты.
Так как 
, 
, 
, то
.
Наивероятнейшее число 
появлений события в независимых испытаниях удовлетворяет двойному неравенству
.
В данном случае
,
.
Если концы доверительного интервала являются целыми числами, то каждому из них соответствует наибольшее значение вероятности, рассчитываемой по формуле Бернулли.
Ответ: 
;
.
| Задача 15 Образец | |||||||||
Дискретная случайная величина (ДСВ)  задана законом распределения, представленным в виде таблицы:
| |||||||||
|
|  5
| 2
| 
| ||||||
| 0,2 | 0,5 |
| ||||||
Найти: 1) ; 2) ; 3)  ; 4)  , если  . Построить график функции распределения вероятностей  .
|
Решение
1) Так как сумма вероятностей в законе распределения вероятностей (сумма чисел во второй строке таблицы) равна 1, то
.
2) По определению математическое ожидание 
ДСВ находится по формуле
.
В данном случае
,
.
Таким образом, закон распределения вероятностей ДСВ имеет следующий вид:
|
| 5
| 2
|
| ||||||
|
| 0,2 | 0,5 |
|
|
|
|
3) По определению дисперсия ДСВ находится по формуле
.
В данном случае
.
4) График функции распределения вероятностей ДСВ легко можно построить, исходя из свойства этой функции: вероятность того, что ДСВ принимает одно из своих возможных значений, равно скачку функции распределения в соответствующей точке. Этот график приведен на следующем рисунке.
Имея график функции распределения вероятностей, ее можно легко описать аналитически:
4) Вероятность 
попадания ДСВ в интервал 
находится по
.
В данном случае
.
Ответ: 1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
.
| Задача 16 Образец |
Непрерывная случайная величина (НСВ) задана плотностью распределения вероятностей  :
где  .
Найти: 1)  , 2)  – функцию распределения вероятностей; 3) ; 4) ; 5)  . Построить графики плотности распределения и функцию распределения вероятностей.
|
Решение
1) Значения параметра находится из условия
.
В данном случае:
,
,
.
С учетом этого плотность распределения вероятностей НСВ описывается следующим образом:
График плотности распределения представлен на следующем рисунке:
2) Функция распределения вероятностей НСВ , заданной плотностью распределения 
, вычисляется по формуле
.
Вычислим этот интеграл последовательно.
1) 
:
;
2) 
:
;
3) :
;
4) 
:
.
Таким образом, функция распределения вероятностей НСВ в данном случае имеет вид:
График функции распределения представлен на рисунке:
3) Математическое ожидание вычисляется по формуле
.
В данном случае:
.
4) Дисперсия вычисляется по формуле
.
В данном случае:
.
5) Вероятность попадания НСВ в интервал 
вычислим двумя способами:
,
.
По первому способу:
.
По первому способу:
.
Ответ: 1) 
,
2) ,
3) 
,
4) 
,
5) 
.
|
|
|
