Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Объекты нечисловой природы.

Статистика объектов нечисловой природы - это направление в математической статистике, в котором в качестве статистических данных (результатов наблюдений) рассматриваются объекты нечисловой природы. Так называют объекты, которые нецелесообразно описывать числами, в частности элементы нелинейных пространств. Примерами являются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и др.), результаты парных и множественных сравнений, множества, нечеткие множества, измерение в шкалах, отличных от абсолютных. Этот перечень примеров не претендует на законченность. Он складывался постепенно в соответствии с исследованиями в области статистики объектов нечисловой природы.

Объекты нечисловой природы широко используются в теоретических и прикладных исследованиях по проблемам управления, в частности управления качеством продукции, в технических науках, медицине, социологии, экономике, психологии и т.д., а также практически во всех отраслях народного хозяйства. Это обосновывает целесообразность дальнейшего развития рассматриваемого математико-статистического аппарата.

В журнале " Заводская лаборатория " опубликовано два обзора [1,2] и несколько десятков статей ([3-33] и др.) по различным вопросам статистики объектов нечисловой природы. Однако литературы, в которой бы разъяснялись основные понятия этого направления анализа статистических данных, явно не хватает. Данный обзор и посвящен первоначальному знакомству с основными видами объектов нечисловой природы.

Основные понятия репрезентативной теории измерений

Начнем с рассмотрения конкретного социологического исследования. Обсуждение можно вести в терминах экспертных оценок. Тогда вместо сравнения математики и физики n экспертов (а не выпускников школ) оценивают по конкурентоспособности на мировом рынке, например, две марки стали. Однако в настоящее время социологические исследования более привычны, чем экспертные.

При изучении привлекательности различных профессий для выпускников новосибирских школ [34] был составлен список из 30 профессий. Опрашиваемых просили оценить каждую из этих профессий одним из баллов 1,2,...,10 по правилу: чем больше нравится, тем выше балл. Для получения социологических выводов необходимо было дать единую оценку привлекательности определенной профессии для совокупности выпускников школ. В качестве такой оценки в работе [34] использовалось среднее арифметическое баллов, выставленных профессии опрошенными школьниками. В частности, физика получила средний балл 7.69, а математика - 7.50. В соответствии с логикой [34], физика более предпочтительна, чем математика.

Однако было отмечено [35], что этот вывод противоречит данным работы [36], согласно которым ленинградские школьники средних классов больше любят математику, чем физику. Обсудим одно из возможных объяснений этого противоречия, которое заключается в неадекватной методике обработки данных, применных в работе [34].

Дело в том, что баллы 1,2,...,10 введены исследователем-социологом, т.е. субъективно. Если одна профессия оценена в 10 баллов, а вторая - в 2, то из этого нельзя заключить, что первая ровно в 5 раз привлекательней другой. Другой коллектив социологов мог бы принять иную систему баллов, например 1,4,9,16,...,100. Естественно предположить, что упорядочивание профессий по привлекательности, присущее школьникам, не зависит от того, какой системой баллов им предложит пользоваться социолог. Раз так, то распределение профессий по градациям десятибалльной системы не изменится, если перейти к другой системе баллов с помощью строго возрастающей функции .Если -ответы n выпускников школ, касающихся математики, а -физики, то после перехода к новой системе баллов ответы относительно математики будут иметь вид ,а относительно физики - .

Пусть единая оценка привлекательности профессии вычисляется с помощью функции. . Какие требования естественно наложить на функцию , чтобы полученные с ее помощью выводы не зависели от того, какой именно системой баллов пользовался социолог?

Единая оценка вычислялась для того, чтобы сравнивать профессии по привлекательности. Поэтому потребуем устойчивости результата сравнения: неравенство

(1)

справедливо тогда и только тогда, когда справедливо неравенство

, (2)

причем равносильность неравенств (1) и (2) имеется при любых и . Какие устойчивы относительно сравнения? Ответ на этот вопрос был дан в работе [35]. В частности, оказалось, что средним арифметическим, как в работе [34], пользоваться нельзя, а членами вариационного ряда (и только ими) - можно.

Выше показан переход от социологической задачи к математической (подробнее см. [37, § 3.1], [38]), а именно, к одной из частных постановок проблемы адекватности в репрезентативной теории измерения [39, 40]. Изложим основные понятия этой теории в модификации, данной в работе [ 37 гл. 3 ].

Исходным понятием является совокупность Ф={ }. допустимых преобразований шкалы (обычно Ф- группа), . Алгоритм обработки данных а, т.е. функция .(А - множество возможных результатов работы алгоритма) называется в шкале совокупностью допустимых преобразований Ф адекватным [ 37, c. 97], если

(3)

для всех , i=1,...,n и всех Ф. Таким образом, теорию измерений рассматриваем как теорию инвариантов относительно различных совокупностей допустимых преобразований Ф. Интерес вызывают две задачи: а) дано Ф; какие а из определенного класса удовлетворяют условию (3); б) дан алгоритм а; для каких Ф справедливо условие (3)? Уточнение этих постановок дано в работах [ 37, 41, 42 ]

Наиболее распространенные шкалы измерения описываются с помощью групп допустимых преобразований Ф. Если Ф состоит из всех взаимнооднозначных преобразований, то измерения проводятся в шкале наименований. Для порядковой шкалы Ф состоит из всех строго возрастающих преобразований. по этим двум шкалам измеряются качественные признаки.

Для шкалы интервалов Ф={ах+b; а>0, }, для шкалы отношений Ф=ах;а>0}, для шкалы разностей Ф={х+b; },для абсолютной шкалы Ф={ , По этим четырем шкалам измеряются количественные признаки. В абсолютной шкале известно начало отсчета и единица измерения, в шкале отношений фиксированно начало, но не единица измерения, в шкале разностей, наоборот, единица измерения фиксирована, а начало отсчета - нет, в шкале интервалов ни то, ни другое не задано.

Различные свойства шкал, примеры реальных величин, измеряемых по тем или иным шкалам, приведены в работах [37, 39, 40,43].

Бинарные отношения.

Пусть а: - адекватный алгоритм в шкале наименований. Легко видеть [37,c.109], что a - есть функция от матрицы B = = В (), где

Если a: - адекватный алгоритм в шкале порядка, то a есть [37,c.111] функция от матрицы C = = C () порядка n x n, где

Матрицы B и C можно проинтерпретировать в терминах бинарных отношений. Пусть некоторая характеристика измеряется у n объектов , причем - результат ее измерения у объекта Тогда матрицы B и C задают бинарные отношения на множестве объектов Q ={ }Поскольку бинарное отношение можно рассматривать как подмножество декартова квадрата Q x Q, то любой матрице D = порядка n x n из 0 и 1 соответствует бинарное соотношение R(D), определяемое следующим образом: R(D) тогда и только тогда, когда 1.

Бинарное отношение R(B) - отношение эквивалентности, т.е. рефлексивное симметричное транзитивное отношение. Оно задает разбиение Q на классы эквивалентности. Два объекта и входят в один класс эквивалентности тогда и только тогда, когда .

Выше показано, как разбиения возникают в результате измерений в шкале наименований. Разбиения могут появляться и непосредственно. Так, при оценке качества промышленной продукции эксперты дают разбиение показателей качества на группы [44]. Для изучения психологического состояния людей их просят разбить предъявленные рисунки на группы сходных между собой [45,46].Аналогичная методика применяется в экспериментальных психологических исследованиях. [47,48].

Во многих задачах прикладной статистики разбиения получаются "на выходе" (в кластер-анализе) или же используются на промежуточных этапах анализа данных (например, сначала проводят классификацию с целью выделения однородных групп, а затем в каждой группе строят регрессионную зависимость, как в работе [49]).

Бинарное отношение R(С) задает разбиение Q на классы эквивалентности, между которыми введено отношение строгого порядка. Два объекта и входят в один класс тогда и только тогда, когда = 1 и = 1, т.е. Класс эквивалентности предшествует классу эквивалентности тогда и только тогда, когда для любых , имеем, = 1, = 0, т.е. . Такое бинарное отношение в статистике называют ранжировкой со связями [50]; связанными считаются объекты, входящие в один класс эквивалентности. В литературе встречаются и другие названия: линейный квазипорядок [51], упорядочение [52,гл.2], квазисерия [53, с.37]. Если каждый из классов эквивалентности состоит только из одного элемента, то имеем обычную ранжировку (другими словами, линейный порядок).

Как известно, ранжировки возникают в результате измерений в порядковой шкале. Так, при описанном выше опросе ответ выпускника школы - это ранжировка (со связями) профессий по привлекательности. Ранжировки часто возникают и непосредственно, без промежуточного этапа - приписывания объектам квазичисловых оценок - баллов. Многочисленные примеры тому даны М.Кендэлом [50]. При оценке качества промышленной продукции нормативные методические документы предусматривают использование ранжировок [44].

Для прикладных областей, кроме ранжировок и разбиений, представляют интерес толерантности, т.е. рефлексивные симметричные отношения [54]. Толерантность - математическая модель для выражения представлений о сходстве (похожести, близости). Разбиения - частный вид толерантностей. Однако в общем случае толерантность не обязана быть транзитивной. Необходимость использования толерантностей показана Э.Борелем при обсуждении физической непрерывности согласно Пуанкаре [55, с.88-91]. Толчок к более подробному изучению толерантностей дали исследования деятельности мозга [56]. Толерантности появляются и в других постановках, например, как результат парных сравнений (см.ниже).

Напомним, что любое бинарное отношение на конечном множестве может быть описано матрицей из 0 и 1.

Дихотомические данные.

Это данные, которые могут принимать одно из двух значений (0 или 1), т.е. результаты измерений альтернативного признака. Как уже было показано, измерения в шкале наименований и порядковой шкале приводят к бинарным отношениям, а те могут быть выражены как результаты измерений по нескольким альтернативным признакам, соответствующим элементам матриц, описывающих отношения. Дихотомические данные возникают в прикладных исследованиях и многими иными путями.

В настоящее время в большинстве стандартов на конкретную продукцию предусмотрен контроль по альтернативному признаку. Обширные теоретические исследования проблем статистического приемочного контроля по альтернативному признаку [57,58]. Основополагающими в этой области являются работы А.Н.Колмогорова [59,60]. Подход советской вероятностно-статистической школы к проблемам качества продукции по альтернативному признаку означает, что единица продукции относится к одной из двух категорий - "годных" или "дефектных", т.е. соответствующих или не соответствующих требованиям стандарта.

Дихотомические данные - давний объект математической статистики (см., например, [62, гл.33]) Особенно большое применение они имеют в медико-биологических [46] и социологических [63] исследованиях, в которых большинство переменных, интересующих специалистов, не может быть измерено (в настоящее время!) по количественным шкалам. При этом дихотомические данные зачастую являются более адекватными, чем результаты измерений по методикам, использующим большее число градаций. В частности, психологические тесты типа MMPI [45] используют только дихотомические данные. На них опираются и методы парных сравнений [64].

Элементарным актом в методике парных сравнений является предъявление эксперту для сравнения двух объектов (сравнение может проводиться также прибором). В одних постановках эксперт должен выбрать из двух объектов лучший по качеству, в других - ответить, похожи объекты или нет. В обоих случаях ответ эксперта можно выразить одной из двух цифр - 0 или 1. В первой постановке: 0, если лучшим объявлен первый объект; 1 - если второй. Во второй постановке: 0, если объекты похожи, схожи, близки; 1 - в противном случае.

Подводя итоги изложенному, можно сказать, что рассмотренные выше данные представимы в виде векторов из 0 и 1 (при этом матрицы, очевидно, могут быть записаны в виде векторов). С.А.Айвазян [65] предлагает "унифицированную форму записи наблюдений", в которой любые виды результатов записываются в виде векторов из 0 и 1. Представляется, что это предложение имеет скорее академический интерес, но во всяком случае можно констатировать, что анализ дихотомических данных необходим во многих прикладных постановках.

Множества

Совокупность векторов X = () из 0 и 1 размерности n находится во взаимно-однозначном соответствии с совокупностью всех подмножеств множества N = {1, 2,..., n}. При этом вектору X = () соответствует подмножество N(X) N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств.

Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон [66], из электротехнических - Н.Н.Ляшенко [67] и др. Случайные множества применялись для описания процесса случайного распространения, например распространения эпидемии или пожара[68, 69, 70], а также в математической экономике [71]. Много работ связано с изучением случайных геометрических объектов - точек, прямых, кругов, мозаик и т.д. (обзор по состоянию на 1969г. дан а работе [72]). В работе [37, §4.6, §5.6] рассмотрены приложения случайных множеств в теории экспертных оценок и в теории управления запасами и ресурсами.

Отметим, что реальные объекты можно моделировать случайными множествами как из конечного числа элементов, так и из бесконечного, однако при расчетах на ЭВМ неизбежна дискретизация, т.е. переход к первой из названных возможностей.

Нечеткие множества

Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией

(4)

Нечеткое подмножество множества характеризуется своей функцией принадлежности. . имеет вид (4) при некотором , то есть обычное (четкое) подмножество A.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Начало современной теории нечеткости положено статьей Л.А.Заде в 1965г [73]. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Из публикаций на русском языке, кроме перевода монографии Л.А.Заде, назовем книги С.А.Орловского [75], В.Б.Кузьмина [76], а также работы [77-80].

Л.А.Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек [81, с.6]. Его подход "опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен " [81, с.7]. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении качеством продукции и технологическими процессами. Популярный обзор прикладных возможностей теории нечеткостей дан в работах [43, 82].

Пусть и - два нечетких подмножества с функциями принадлежности и соответственно. Пересечением , произведением , объединением , отрицанием , суммой называются нечеткие подмножества с функциями принадлежности