 |
Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов
|
|
|
|
На сколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов?
После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Под ресурсами в данном контексте понимается не только максимальный суточный запас используемых элементов, но и суточный объем производства каждой из технологических линий. Особенно важно проанализировать следующие два аспекта.
. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции F?
. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?
Так как величина запаса каждого из ресурсов фиксируется в правых частях ограничений, этот вид анализа обычно идентифицируется как анализ модели на чувствительность к правой части (ограничений).
Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничения линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку. В противном случае соответствующее ограничение будет не связывающим. На рис. 1 <mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\User\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.938\iop.chm::/part9.html> связывающими ограничениями являются только ограничения (II) и (III), которые лимитируют запас используемых элементов и суточный объем первой технологической линии.
Если некоторое ограничение является связывающим, логично отнести соответствующий ресурс к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:
|
|
|
1. предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
. предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции. Информация, полученная в последнем случае, особенно полезна в тех ситуациях, когда излишки недефицитного ресурса могут быть использованы для других целей. Отметим, что увеличение избыточного ресурса не скажется на оптимальном решении (избыточный ресурс станет еще более избыточным). Очевидно, что сокращение дефицитного ресурса не улучшит значения целевой функции.
Вернемся к задаче. В рассмотренном примере запас используемых элементов и суточный объем первой технологической линии являются дефицитными ресурсами. Рассмотрим сначала ресурс запас используемых элементов. Из рис. 2 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (II) (или отрезок ВC) перемещается вверх параллельно самой себе, постепенно «стягивая» в точку треугольник ВCK. (Стороны ВК и СK этого треугольника представляют собой продолжения прямых, соответствующих ограничениям (I) и (III).
Рис. 2.
В точке К ограничения (I) и (III) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится прямоугольник ОAKD. В точке К ограничение (II) (для запаса используемых элементов) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение. Таким образом, объем запаса используемых элементов не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (II) становится избыточным, т. е. прямая (II) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Сначала нужно найти координаты точки К, в которой пересекаются прямые (I) и (III). В результате получается К(40; 60). Затем путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения (II) определяется максимально допустимый запас используемых элементов: 
. При этом F(К)= 
.
|
|
|
Далее рис. <mk:@MSITStore:C:\DOCUME~1\User\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.938\iop.chm::/part3p3.html>3 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос о целесообразности увеличения суточного объема производства первой технологической линии. Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямая (II) и прямая х2=0. Отсюда следует, что E(54,1(6); 0) и суточный объем производства первой технологической линии (с учетом целочисленности решения) можно увеличить до значения, равного 54 изделиям. При этом F(Е)= 
.
Рассмотрим теперь вопрос об уменьшении правой части не связывающего ограничения. Ограничение (I), фиксирует суточный объем производства второй технологической линии. Из рис. 4 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую (I) (AB) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С, которая имеет координаты (60; 17). Следовательно, уменьшение суточного объема производства второй технологической линии до величины 17 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.
Рис. 3.
Рис. 4.
Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу.
Таблица 4.
| Ресурс | Тип ресурса | Максимальное изменении запаса ресурса | Максимальное изменении прибыли от реализации |
| I | недефицитный | 17-60=-43 | 770-770=0 |
| II | дефицитный | 1080-950=130 | 1200-770=430 |
| III | дефицитный | 54-40=14 | 810-770=40 |
3.2 Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса
Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?
В первой задаче анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов (т. е., изменения связывающих ограничений). При ограничениях на затраты, связанные с дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? С помощью методов линейного программирования удается ответить и на такой вопрос.
|
|
|
Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую характеристику для рассматриваемого примера можно получить непосредственно из таблицы, в которой приведены результаты решения первой задачи анализа на чувствительность. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через yi Величина yi, определяется из соотношения
Воспользовавшись данными указанной таблицы, для ограничения (II) (суточный запас используемых элементов) получим 
.
Аналогичным образом можно определить ценность единицы каждого из ресурсов и представить результаты в следующей таблице:
Таблица 5.
| Ресурс | Тип ресурса | Значение yi |
| I | недефицитный | 0 |
| II | дефицитный | 
|
| III | дефицитный | 
|
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение ресурса III (суточный объем производства первой технологической линии) и лишь затем на увеличение ресурса II (суточный запас используемых элементов). Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.
|
|
|
