Оценка статистической значимости регрессии
Перейдем к вопросу о том, как отличить "хорошие" оценки МНК от "плохих". Конечно, предполагается, что существуют критерии качества рассчитанной линии регрессии. Перечислим способы, которые помогают решить вопрос о достоинствах рассчитанной линии регрессии: § построение доверительных интервалов и оценка статистической значимости коэффициентов регрессии по t -критерию Стьюдента; § дисперсионный анализ и F – критерий Фишера; § проверка существенности выборочного коэффициента корреляции (детерминации). Перейдем к подробному изложению свойств оценок МНК и способов проверки их значимости. Несложно показать, что оценки Для вычисления интервальных оценок a, b предполагаем нормальное распределение случайной величины u. Для получения интервальных оценок a, b оценим дисперсию случайного члена
Вычислим величину
и Статистика
имеет t -распределение Стьюдента. Так как
где te , n -2 – табличное значение t распределения для (n -2) степеней свободы и уровня значимости e. Вычислим величину
и Статистика
имеет t -распределение Стьюдента. Так как
где te , n -2 – табличное значение t распределения для (n -2) степеней свободы и уровня значимости e. Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента a, т.е. H0: a =0. С учетом статистики
Если вычисленное по (2.15) значение t будет больше t e для заданного критического уровня значимости e, то гипотеза H0 о равенстве нулю коэффициента a отклоняется, если же t < t e, то H0 принимается. Аналогично для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента b, т.е. H0: b =0 рассчитаем статистику:
Если вычисленное по (2.16) значение t будет больше t e для заданного критического уровня значимости e, то гипотеза H0 о равенстве нулю коэффициента b отклоняется, если же t < t e, то H0 принимается. Заметим, что формула (2.12) может быть упрощена и записана в виде:
Пример. Приведем расчеты для нашего примера в табл. 2.1. По формуле (2.17) рассчитаем дисперсию ошибки:
Найдем доверительный интервал для a по первой из формул (2.13): a = По таблице t -распределения находим t 0,05;10=2,228 и a =-2,91±2,228×2668,219/747,0743. Откуда a =-2,91±7,798 или -10,7£ a £4,9. С вероятностью 0,95 истинные значения a находятся в интервале 10,7£ a £4,9. Аналогично найдем доверительный интервал для b по первой из формул (2.14): b = Кроме того по экономическому смыслу переменных примера следует ожидать, что 0£b£1. Поскольку доверительный интервал не включает 0 и 1, то результаты регрессии соответствуют гипотезе 0£b£1. Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента b, т.е. H0: b =0. Рассчитаем t -статистику по формуле (2.16): t =0,9276× Табличное значение t 0,01;10=3,169, так как t > t 0,01;10, то гипотеза о том, что b =0 отклоняется. Можно говорить о том, что коэффициент b значимо отличен от нуля.Ñ Разложим общую вариацию значений Y около их выборочного среднего
Сумма квадратов отклонений от среднего в выборке равна сумме квадратов отклонений значений Первую связывают с линейным воздействием изменений переменной X и называют "объясненной". Вторая составляющая является остатком и называется "необъясненной" долей вариации переменной Y. Отметим, что долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативной переменной Y характеризует коэффициент детерминации, определяемый по формуле (2.10), которая может быть преобразована с учетом (2.18) к виду:
Предположим, что мы хотим проверить гипотезу об отсутствии линейной функциональной связи между X и Y, т.е. H0: b =0. Иначе говоря, мы хотим оценить значимость уравнения регрессии (2.6) в целом. Для проверки гипотезы сведем необходимые вычисления в таблицу (табл. 2.3). Соотношение
удовлетворяет F - распределению Фишера с (1, n -2) степенями свободы. Критические значения этой статистики F e для уровня значимости e затабулированы. Если F > F e, то гипотеза об отсутствии связи между переменными Y и X отклоняется, в противном случае гипотеза Н0 принимается и уравнение регрессии не значимо.
Таблица 2.3 Таблица дисперсионного анализа
Пример. Для примера табл. 2.1, с учетом предыдущих вычислений, будем иметь таблицу анализа дисперсии - табл. 2.4. Применяя формулу (2.19), получим Таблица 2.4 Таблица анализа дисперсии (пример в табл. 2.1)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|