 |
4.1. Построение матрицы переноса
|
|
|
|
4. 1. Построение матрицы переноса
1. Формулировка общей задачи при произвольных начальных условиях:
- дифференциальное уравнение движения;
: 
, 
- начальные условия.
Решение для момента времени 
:
Решение в матричной форме:
.
Или в компактной форме
.
Здесь 
- матрица переноса, 
- вектор состояния в конце полупериода; 
- вектор состояния в начальный момент.
2. Формализованная процедура построения матрицы переноса, основанная на рассмотрения двух частных задач при единичных начальных условиях:
Задача 1. Формулировка задачи: ; : 
, 
.
Решение:
- элементы первого столбца матрицы переноса.
Задача 2. Формулировка задачи: ; : 
, 
.
Решение:
- элементы второго столбца матрицы переноса.
Общая задача. Формулировка общей задачи: ; : , .
Решение общей задачи при единичных начальных условиях:
.
Здесь 
- матрица переноса.
4. 2. Уравнение Мейснера.
Рассмотрим возможный путь решения уравнения Мейснера для малого значения параметра 
.
Кроме тривиального решения 
существует и другое решение, которое разыскивается в виде двухкомпонентного вектора 
. Начальные условия задаются в виде: : 
; в конце периода, то есть при 
: 
. Связь между векторами 
и 
представим в виде линейного дифференциального уравнения
(4. 2)
где 
- матрица переноса.
1. Уравнение (4. 2) на интервале 
можно представить в виде
(4. 3)
Введем новую константу 
, тогда уравнение (4. 3) приобретает вид
. (4. 4)
|
|
|
Построим матрицу переноса 
исходя из уравнения
.
Первый столбец матрицы строится путем интегрирования дифференциального уравнения (4. 4). Запишем начальные условия так: при : , , поэтому 
и 
- это первый элемент первого столбца матрицы .
Второй элемент первого столбца матрицы - это обобщенная скорость, поэтому при : 
; значит 
- второй элемент первого столбца матрицы .
Для нахождения второго столбца матрицы интегрируется уравнение (4. 4) при других начальных условиях: : , . Интеграл запишется в виде 
, поэтому первый элемент второго столбца матрицы запишется в виде 
. Второй элемент второго столбца матрицы переноса определяется из условия 
; его значение будет равно: 
.
Таким образом, найдена структура матрицы переноса
,
Следовательно, установлена взаимосвязь
.
2. Уравнение (4. 2) на интервале 
имеет вид
.
Вводя новую постоянную 
, преобразуем его к виду
. (4. 5)
Повторим процедуру построения матрицы переноса 
, определяющую вектор согласно уравнению
.
За начальную точку отсчета времени принимаем 
, тогда начальные условия запишутся в виде: 
: , . Решая уравнение (4. 5), находим
и 
. Поэтому первый и второй элементы первого столбца матрицы переноса будут равны 
и 
соответственно. Аналогично находим элементы второго столбца этой матрицы: 
и 
. Таким образом матрица построена
Можно показать, что матрица переноса на интервале 
определяется согласно формуле
.
Повторяя описанную выше процедуру определенное число раз, можно построить матрицу переноса для соответствующего момента времени, кратного любому числу периодов
|
|
|
, 
.
Иными словами по заданным начальным условиям можно получить решение через любое число периодов.
Изложенный подход часто используется для определения устойчивости колебательного движения:
1. Если решение 
возрастает с течением времени, то движение неустойчивое;
2. Если решение убывает с течением времени, то движение устойчивое;
3. Если амплитуда обобщенных координат не меняется с течением времени, то такие решения соответствуют границе раздела устойчивой области и неустойчивой.
Судить об устойчивости движения можно по норме матрицы 
, величина которой определяется выражением
.
Если для оценки устойчивости используется матрица 
, то возможны следующие случаи движения:
1. 
- неустойчивое движение;
2. 
- устойчивое движение;
3. 
- граница раздела между областями устойчивого и неустойчивого движения.
Последний случай соответствует установившемуся периодическому движению, которое описывается уравнением:
или 
, где 
- единичная матрица. Это уравнение имеет нетривиальное решение если 
, то есть для определения границы между устойчивым и неустойчивым движениями можно использовать указанное условие.
|
|
|
