 |
4.3. Диаграмма Айнса-Стретта.. 4.4. Уравнение Матье.
|
|
|
|
4. 3. Диаграмма Айнса-Стретта.
Для практических целей главный интерес представляет определение границ между областями устойчивых и неустойчивых решений. Ответ на этот вопрос дает диаграмма Айнса-Сретта (рис. 4. 5). Она может быть построена для уравнения Мейснера в координатах 
, 
с использованием численных методов интегрирования. Ею пользуются при отсутствии программного обеспечения, позволяющего ответить на вопрос об устойчивости движения.
Рис. 4. 5
На диаграмме заштрихованные области соответствуют устойчивому состоянию системы 
. Не заштрихованные области соответствуют неустойчивому состоянию системы, когда колебания неограниченно возрастают 
. Иногда их называют параметрическим резонансом. Сплошные линии на диаграмме соответствуют периодическим режимам 
.
4. 4. Уравнение Матье.
Это однородное дифференциальное уравнение.
. (4. 6)
Введем обозначения 
; 
; 
, тогда уравнение Матье запишется в безразмерном виде
.
Исследованиями этого уравнения занимались Дж. Релей и Айнс. Решение записывается в специальных функциях, которые получили название функции Матье. Мы будем строить решение с помощью матрицы переноса, так же как это осуществлялось для уравнения Мейснера. Построим матрицу переноса для уравнения Матье.
1. Интегрируем численно уравнение
на интервале 
( 
) при начальных условиях 
: 
, 
. В результате численно находим компоненты первого столбца матрицы переноса 
, 
.
2. Интегрируем то же уравнение на интервале при начальных условиях : 
, 
. В результате находим компоненты второго столбца матрицы переноса 
, 
.
|
|
|
3. После повторения этой процедуры строим матрицу переноса для момента кратного любому количеству периодов 
. После чего вычисляем ее норму 
. По найденному значению нормы можно судить о характере колебательного движения системы. При этом возможны три случая:
1. - неустойчивое движение;
2. - устойчивое движение;
3. - граница раздела между областями устойчивого и неустойчивого движения. Физически это соответствует случаю установившегося периодического движения. При этом амплитуда колебаний не возрастает с течением времени, поэтому значение обобщенных координат по истечении периода может быть вычислено по формуле
или 
,
где 
- единичная матрица. Следовательно, в силу однородности уравнения для определения границ устойчивого движения может быть использовано условие 
. Точно так же с помощью матрицы переноса можно построить алгоритм проверки устойчивости для уравнения Хилла.
Как и в предыдущем случае для данного колебательного процесса может быть построена диаграмма Айнса-Стретта (см. рис. 4. 5).
Замечание. При численном интегрировании уравнения Матье на интервале нельзя использовать процедуру автоматического выбора шага, иначе в области неустойчивости точность расчета может быть не достигнута, вследствие чего может возникнуть сбой вычислительной процедуры.
ПРИМЕР. 1. Найти при каком сочетании параметров 
, 
, 
и 
вертикальное положение обращенного маятника будет устойчивым, если задан закон вертикального перемещения шарнирной опоры маятника 
.
Рис. 4. 6
РЕШЕНИЕ. Для описания относительного колебательного движения будем использовать обобщенную координату 
. Для составления уравнения движения воспользуемся принципом Даламбера. Составим уравнение моментов относительно центра вращения:
.
Учитывая, что сила инерции переносного движения равна 
, и, ограничиваясь малыми отклонениями маятника от вертикали 
, найдем
|
|
|
.
И окончательно
.
Воспользуемся обозначениями 
; 
; 
, тогда уравнение движения примет вид
.
С помощью построения матрицы переноса можно показать, что движение обращенного маятника будет устойчивым, если выполняется условие
.
Это означает, что движение будет устойчивым, если амплитудное значение скорости движения основания (точки подвеса) будет больше или равно той скорости, которую приобрел бы шарик, падая с высоты без начальной скорости.
Впервые возможность стабилизации маятника в перевернутом положении за счет вертикальных колебаний точки подвеса установил А. Стефенсон в 1907 году. В заключении заметим, что все вышесказанное справедливо для линейного дифференциального уравнения. С ростом амплитуды изменения параметра начинает сказываться роль нелинейных факторов, которые нами не принимались в расчет. Вопрос о существовании устойчивых периодических решений в таком случае требует особого рассмотрения с привлечением теории нелинейных колебаний.
|
|
|
