4.3. Диаграмма Айнса-Стретта.. 4.4. Уравнение Матье.
4. 3. Диаграмма Айнса-Стретта.
Для практических целей главный интерес представляет определение границ между областями устойчивых и неустойчивых решений. Ответ на этот вопрос дает диаграмма Айнса-Сретта (рис. 4. 5). Она может быть построена для уравнения Мейснера в координатах Рис. 4. 5 На диаграмме заштрихованные области соответствуют устойчивому состоянию системы
4. 4. Уравнение Матье.
Это однородное дифференциальное уравнение. Введем обозначения Исследованиями этого уравнения занимались Дж. Релей и Айнс. Решение записывается в специальных функциях, которые получили название функции Матье. Мы будем строить решение с помощью матрицы переноса, так же как это осуществлялось для уравнения Мейснера. Построим матрицу переноса для уравнения Матье. 1. Интегрируем численно уравнение на интервале 2. Интегрируем то же уравнение на интервале
3. После повторения этой процедуры строим матрицу переноса для момента кратного любому количеству периодов 1. 2. 3.
где Как и в предыдущем случае для данного колебательного процесса может быть построена диаграмма Айнса-Стретта (см. рис. 4. 5). Замечание. При численном интегрировании уравнения Матье на интервале
ПРИМЕР. 1. Найти при каком сочетании параметров Рис. 4. 6 РЕШЕНИЕ. Для описания относительного колебательного движения будем использовать обобщенную координату
Учитывая, что сила инерции переносного движения равна
И окончательно
Воспользуемся обозначениями
С помощью построения матрицы переноса можно показать, что движение обращенного маятника будет устойчивым, если выполняется условие Это означает, что движение будет устойчивым, если амплитудное значение скорости движения основания (точки подвеса) будет больше или равно той скорости, которую приобрел бы шарик, падая с высоты Впервые возможность стабилизации маятника в перевернутом положении за счет вертикальных колебаний точки подвеса установил А. Стефенсон в 1907 году. В заключении заметим, что все вышесказанное справедливо для линейного дифференциального уравнения. С ростом амплитуды изменения параметра начинает сказываться роль нелинейных факторов, которые нами не принимались в расчет. Вопрос о существовании устойчивых периодических решений в таком случае требует особого рассмотрения с привлечением теории нелинейных колебаний.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|