 |
Основные понятия математической статистики
|
|
|
|
Основные понятия математической статистики
Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.
Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.
Первичная обработка результатов
Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 п1 раз, х2 – п2 раз, …, хк – пк раз, причем 
где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2, …, хк называют вариантами, а п1, п2, …, пк – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты 
Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – стати-стическим рядом:
| xi | x1 | x2 | … | xk |
| ni | n1 | n2 | … | nk |
| wi | w1 | w2 | … | wk |
Пример1: Построить статистический ряд.
При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1, 1, 4, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 1.
Решение:
Составим вариационный ряд: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (то есть те числа, которые встречаются)
Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:
ni- количество раз, которое встречается данное число
wi= 
, где n – количество всех чисел, тогда
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ni | 3 | 6 | 5 | 3 | 2 | 1 |
| wi |  0, 15
| 0, 3 | 0, 25 | 0, 15 | 0, 1 | 0, 05 |
Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.
Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики.
|
|
|
Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2), …, (xk, nk), где xi откладываются на оси абсцисс, а ni –
на оси ординат. (рис. 1). 
Рис. 1.
Задание 1: Построить статистическое распределение и начертить полигон:
Через каждый час измерялось напряжение тока в сети. При этом были получены следующие показатели:
227, 229, 215, 230, 230, 220, 222, 220, 232, 315, 218, 219, 230, 218, 227, 225, 225, 226, 232, 220, 230, 231, 232, 231.
Определение: Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,
,
где пх – число вариант, меньших х, п – объем выборки.
Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной ni /h 
Рис. 2.
Пример 2: Заполнив предварительно последний столбец таблицы, построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
| номер интервала i | частичный интервал хi-xi+1 | сумма частот интервала ni | плотность частоты
|
| 1-5 | 
| ||
| 5-9 | 
| ||
| 9-13 | 12, 5 | ||
| 13-17 | |||
| 17-21 |
1-5 5-9 9-13 13-17 17-21
Задание 2: Заполнив предварительно последний столбец таблицы, построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
| номер интервала i | частичный интервал хi-xi+1 | сумма частот интервала ni | плотность частоты
|
| 1-4 | |||
| 4-7 | |||
| 7-10 | |||
| 10-13 | |||
| 13-17 | |||
| 17-20 | |||
| 20-23 |
Практическая работа
|
|
|
Задание 1: Постройте линейный график по следующим данным:
В 2002 году в Каменске-Уральском родилось 1500 ребёнка;
В 2003 году в Каменске-Уральском родилось 1560 ребёнка;
В 2004году в Каменске-Уральском родилось 1660 ребёнка;
В 2005 году в Каменске-Уральском родилось 1780 ребёнка;
В 2006 году в Каменске-Уральском родилось 1830 ребёнка;
В 2007году в Каменске-Уральском родилось 1870 ребёнка;
В 2008 году в Каменске-Уральском родилось 2110 ребёнка;
По графику определите, в каком году был наибольший прирост населения.
Примечание: По оси ординат откладывайте «года», по оси абсцисс – количество детей. Шкалу возьмите от 1400 до 2200.
Задание 2: По столбиковой диаграмме постройте простую таблицу 
2005г. 2006г. 2007г. 2008г. 2009г.
Задание 3: По линейному графику постройте простую таблицу 
Задание 4: По таблице постройте столбиковую диаграмму:
| Состав семей учащихся | |||
| годы | неблагополучные семьи | малообеспеченные семьи | многодетные семьи |
| 1996-2001 | 11% | 23% | 8% |
| 2002-2007 | 27% | 32% | 9% |
|
|
|
