Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Касательная прямая к кривой

Пусть задана гладкая кривая , и её уравнение имеет вид или

Возьмём на линии две точки М и М ₁, соответствующие значениям параметра t и (рис. 2). Вектор является направляющим вектором секущей прямой ММ ₁. Следовательно, вектор также направляющий вектор секущей ММ ₁. Когда , точка М ₁неограниченно приближается по кривой к точке М, вектор стремится занять положение касательной в точке М (касательная к кривой в точке определяется как предельное положение секущей).

Вместе с тем отношение стремится к производной как к своему пределу. Отсюда следует, что производная от радиус – вектора точки параметрической кривой есть вектор, направленный по касательной к этой кривой в сторону возрастания параметра t.

Чтобы получить уравнение касательной к вектор – функции, выразим радиус – вектор любой точки касательной прямой через радиус – вектор начальной точки, направляющий вектор и параметр .

Тогда – уравнение касательной в параметрическом виде.

Заменяя это векторное уравнение скалярными функциями, получим параметрические уравнения касательной:

или, исключив параметр , каноническое уравнение касательной:

Указанный способ определения касательной, очевидно, неприменим к той точке , для которой . Такие точки будем называть особыми точками кривой и будем исключать их из рассмотрения.

Соприкасающаяся плоскость кривой

Пусть PQ — касательная в точке Р к кривой γ (рис. 3). Через касательную PQ и точку M кривой проведем плоскость PQM. Плоскость π, к которой стремится плоскость PQM при М → Р, называется соприкасающейся плоскостью к кривой γ в точке Р.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. 1. Регулярная, дважды дифференцируемая кривая γ без особых точек имеет соприкасающуюся плоскость p каждой точке, в которой векторы и не коллинеарны.

Получим уравнение соприкасающейся плоскости в другой форме. Так как векторы – , , компланарны, то вектор удовлетворяет следующему уравнению

(2.1)

Если X, У, Z — координаты вектора (координаты переменной точки s плоскости π), а х (t), у (t), z (t)— координаты вектора , то в координатной форме уравнение (2.1) запишется следующим образом:

(2.2)

Уравнение (2.2), очевидно, представляет собой уравнение соприкасающейся плоскости.

Замечание 2.1. Соприкасающаяся плоскость определена геометрически с помощью предельного перехода, и поэтому в случае ее существования она будет единственна. Отсюда и из доказанного в этом пункте утверждения вытекает, что если в данной точке кривой существует соприкасающаяся плоскость, то при любой параметризации кривой вектор параллелен этой плоскости.

Длина дуги как параметр

Выберем на гладкой кривой : некоторую точку ,соответствующую значению параметра и назовём её начальной точкой.

Длина дуги, имеющий начало в точке и конец в произвольной точке М, определяется, как известно из курса математического анализа, по формуле:

или в векторной форме .

Следовательно, длина дуги s = s (t) является дифференцируемой функцией параметра t.

Так как производная этой функции во всех точках кривой, то функция s = s (t) является возрастающей функцией параметра t. Ввиду того, что все точки t кривой и значения длины дуги s находятся во взаимно однозначном и непрерывном соответствии, s можно принять за новый параметр. Такая параметризация называется естественной или натуральной параметризацией, где s – естественный или натуральный параметр. Так как , то и .

Отсюда следует, что – единичный вектор. Будем называть его единичным вектором касательной к линии в точке M и обозначать через , т.е. или . Тогда .

Задача 2.1. Найти длину дуги гиперболической винтовой линий заключённую между точками O и t. Параметризовать припомощи естественного параметра.

Решение. Найдём длину дуги . Вычислим отдельно

Тогда . Выразим из равенства параметр t. Имеем и, следовательно, .

Таким образом, получены естественные уравнения кривой

Кривизна кривой

Пусть Р — произвольная фиксированная точка регулярной кривой γ без особых точек и M — точка этой кривой, отличная от Р. Обозначим через φ угол между касательными в точках Р и М, а через s — длину дуги РМ (рис. 4).

Определение 2.7. Кривизной k кривой γ в точке Р называется предел отношения φ / l при s→ 0т. е. при М→P или .

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.2. Регулярная (дважды дифференцируемая) кривая γ без особых точек имеет в каждой точке определенную кривизну k.

Докажем это утверждение.

Пусть точки Р и М кривой отвечают соответственно значениям t и t+ ∆ t параметра. Вычислим sin φ и s. Так как кривая γ регулярна, то ≠ 0 в любой точке кривой γ, и поэтому

(2.3)

(2.4)

где →0 при ∆ t→ 0.

Отметим, что при преобразованиях выражения для s мы воспользовались формулой среднего значения для интеграла и непрерывностью функции .

Преобразуем выражение (2.3) для sin φ. По формуле Тейлора

, α →0 при t →0.

С помощью этой формулы выражение (2.3) для sin φ принимает следующий вид:

(2.5)

где β →0 и ε→ 0 при ∆ t → 0.

Обращаясь к формулам (2.4) и (2.5) и используя при φ ≠0 тождество

(при φ = 0 отношение равно нулю), получим

(2.6)

где β и μ стремятся к нулю при ∆ t→ 0. Так как φ → 0 при ∆ t →0, то при ∆ t → 0. Поэтому из соотношения (2.6) следует, что при ∆ t →0, т.е. M→P предел существует и равен . Утверждение доказано. ■

Итак, при условиях утверждения кривизна k существует и может быть найдена по формуле

(2.7)

(2.8)

Замечание 2.2. Если в качестве параметра на кривой выбрана длина дуги s, так что

, то

1 и вектор

ортогонален вектору

. В этом случае, очевидно, формула (2.7) примет следующий вид

На всей линии кривизна k есть функция параметра s, т. е. k=k (s). Если в данной точке M имеем , то число называется радиусом кривизны линии в точке M.

Таким образом, если линия задана в естественной параметризации, то её кривизна вычисляется по формуле:

или в координатах:

Примем без доказательства следующее утверждение.

Утверждение 2.3. Для того, чтобы линия была простейшей (прямая, отрезок, луч) необходимо и достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в каждой точке этой линии.

Кручение кривой

Пусть Р — произвольная фиксированная точка регулярной кривой без особых точек и М — точка этой кривой, отличная от Р. Обозначим через φ угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и М, а через s – длину дуги РМ.

Определение 2.8. Абсолютным кручением |χ| кривой γ в точке Р называется предел отношения φ/s при s → 0(т. е. при М→Р).

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.4. Регулярная (трижды дифференцируемая) кривая γ без особых точек имеет в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, определенное абсолютное кручение.

Докажем это утверждение.

(2.9)

Пусть точки Р и М кривой γ отвечают соответственно значениям t и t + ∆t параметра. Нормали к соприкасающимся плоскостям в Р и М определяются векторами векторных произведений

. По формуле Тейлора с учетом равенства

получим

где α → 0 при ∆ t → 0.

Для вычисления предела φ/s при s →0 нам понадобится значение синуса угла φ между нормалями к соприкасающимся плоскостям в точках Р и М. Для этой цели найдем модуль векторного произведения и , а также произведение модулей этих векторов. С помощью (2.9) получим

Отсюда, используя распределительное свойство векторного произведения и известную формулу для двойного векторного произведения, найдем

где , и поэтому β →0 при ∆ t→ 0. Из последнего выражения для получаем следующую формулу:

(2.10)

где ε →0 при ∆ t→ 0.

Путем аналогичных рассуждений получается также следующая формула:

(2.11)

где μ →0 при ∆ t→ 0.

Из формул (2.10) и (2.11) получаем нужное нам выражение для sin φ:

Отметим, что в этом выражении значения производных векторной функции вычислены в точке Р.

(2.12)

Обращаясь к выражению (2.12) для s, используя только что полученную формулу для sin φ иизвестный предел при φ → 0, убедились, что предел при s → 0 существует и равен .

Итак, в условиях утверждения абсолютное кручение | χ| существует и может быть найдено по формуле

(12.22)

Определим кручение χ кривой с помощью равенства

(12.23)

(2.13)

Формулы Френе

Рассмотрим регулярную (трижды непрерывно дифференцируемую) кривую . Если в выбрана прямоугольная система координат, то .

Вектор является единичным вектором касательной к линии в точке M, где .

Вектор называется вектором кривизны линии в точке M и .

Прямая, проходящая через точку M в направлении называется главной нормалью линии в точке M (рис. 5).

Имеем , так как вектор – вектор постоянной длины и, следовательно, перпендикулярен вектору . Отсюда, главная нормаль перпендикулярна касательной.

Вектор называется единичным вектором главной нормали, т.е. =1. Так как , то и, следовательно, или

. (2.14)

Определим ещё вектор

Прямая, проходящая через точку M в направлении вектора называется бинормалью линии в точке M, а вектор – единичный вектор бинормали. Имеем, .

Плоскость, содержащая векторы и является соприкасающейся плоскостью; содержащая векторы и – нормальной плоскостью; содержащая векторы и – спрямляющей плоскостью.

Трёхгранник с вершиной в точке M, образованный этими тремя плоскостями, называются сопровождающим трёхгранником пространственной кривой (рис. 5).

Так как вектор – единичный, т.е. постоянной длины, то и значит вектор , параллелен спрямляющейся плоскости. Поэтому его можно разложить по векторам и

, (2.15)

где – координаты в базисе .

Тождество дифференцируем по параметру s: . Если в этом равенстве и заменить формулами (2.14) и (2.15), то получим или . Учитывая, что , т.к. это скалярное произведение единичных векторов, а , как скалярное произведение перпендикулярных векторов. Тогда будем иметь, что и, отсюда, . Формула (2.15) принимает вид после подстановки