 |
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
|
|
|
|
Рассмотрим всевозможные кривые на поверхности, проходящие через данную точку М, и касательные векторы к ним в этой точке (рис. 7). Каждый из этих векторов представляет собой линейную комбинацию векторов 
u и v, т. е. лежит в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М. Напишем уравнение касательной плоскости. Поскольку векторы 
и 
лежат в касательной плоскости, вектор 
нормален к ней и уравнение этой плоскости имеет вид:
, (3.2)
здесь – радиус-вектор точки касания, 
– радиус-вектор текущей точки касательной плоскости.
Пусть поверхность задана уравнением 
, т. е. в векторной форме 
. Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности. Имеем 
, 
и, следовательно,
. (3.3)
Подставив в уравнение касательной плоскости (3.2) вместо 
вектор 
,а вместо нормального вектора 
его выражение (3.3), получим уравнение касательной плоскости к поверхности 
в точке 
:
(3.4)
где значения производных 
и 
берутся в точке касания 
.
Если поверхность задана неявным уравнением 
, которое определяет 
как дифференцируемую функцию от x и y, то
.
Подставив эти выражения в уравнение (3.4), получаем уравнение плоскости, касательной к поверхности :
. (3.5)
Здесь значения 
, 
и 
берутся в точке касания .
Нормаль к поверхности. Пусть F (x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности. Нормаль к поверхности (перпендикулярная прямая к касательной плоскости в точке касания) имеет вид:
.
Вычислим направляющие косинусы вектора 
, нормального к поверхности, заданной уравнением 
. Так как
и 
,
то вектор 
имеет координаты
|
, 
, 
,
а его направляющие косинусы соответственно равны
, 
, 
Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности
|
|
|
Для решения многих физических, технических и геометрических задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверхности.
Основная идея всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответствующим элементом касательной плоскости. Поэтому полезно начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и площадей на плоскости.
Перейдем к изучению поверхности в бесконечно малом, вблизи какой-нибудь её точки M(x, y).
Вычислим дифференциал вектора вдоль кривой. Тогда 
, где 
. Найдём скалярные квадраты левой и правой частей этого равенства: 
или
|
.
Введём для этих скалярных произведений сокращённые обозначения:
или в координатах
|
.
Выражение (3.8), называется первой квадратичной формой на поверхности и играет важную роль в теории поверхностей.
Первая квадратичная форма служит прежде всего для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. Далее посредством интегрирования, нетрудно перейти к точному вычислению длин на поверхности.
Пусть задана часть кривой на поверхности: u=u(t), v=v(t), где 
.
Тогда длина части кривой на поверхности выражается формулой:
.
Зная первую квадратичную форму на поверхности, можно находить и углы между кривыми.
Определение 3.4. Углом между кривыми 
и 
называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке M.
Пусть 
и 
– векторы касательных к линиям 
и в точке M. Тогда 
или, в координатах, учитывая, что 
для произвольного вектора 
, имеем
или
|
.
Площадь поверхности
Через первую квадратичную форму можно определить площади любых участков поверхности. Пусть f – гладкая поверхность, заданная уравнениями
|
|
|
x=x (u, v), y=y (u, v), z=z (u, v)
и D – область на ней, ограниченная конечным числом кусочно-гладких кривых.
Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле:
.
Заметим, что если 
– векторная функция, т.е. 
, то в любой точке M (u, v) поверхности имеем:
.
Следовательно, площадь поверхности можно вычислить по формуле:
|
.
Задача 3.1. Найти первую квадратичную форму поверхностного вращения 
, 
, 
, где 
– функции, имеющие непрерывные производные.
Решение. Имеем 
, 
, 
, 
. Тогда
,
,
.
Таким образом, первая квадратичная форма имеет вид
. ■
Мы видим, что зная первую квадратичную форму, можно решать метрические задачи, т.е. задачи на вычисления.
В связи с этим говорят, что первая квадратичная форма задаёт метрику поверхности и её часто называют линейным элементом поверхности. Первая квадратичная форма описывает поверхность в первом приближении, когда малый участок поверхности заменяется на участок касательной плоскости.
Все факты, которые могут быть получены путём измерении на поверхности с помощью первой квадратичной формы, относятся к так называемой внутренней геометрии поверхности.
|
|
|
