Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Ранжированные переменные, вычисление производных.

Стр 1 из 4Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. ДАЛЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине

«КОМПЬЮТЕРНАЯ ТЕХНИКА И ПРОГРАМИРОВАНИЕ»

тема: «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПАКЕТ MATHCAD 11. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ»

(для студентов технических специальностей)

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

на заседании кафедры

«Компьютерные системы и сети»

Протокол № от

Луганск, ВНУ им. В. Даля, 2007

УДК

Методические указания по дисциплине «Компьютерная техника и програмирование», тема «Математический пакет MathCad 11. Лабораторный практикум» / Сост.: Ю.В. Полупан – Луганск: Изд-во Восточноукр. Нац. ун-та, 2006. – стр.

В методических указаниях изложен перечень лабораторных работ по теме «Математический пакет MathCad 11», приведены образцы выполнения данных работ с подробным объяснением хода решения.

Рассматриваются типы данных, применяемых в документах MathCad, и принципы их ввода-вывода в наиболее простой числовой форме. Приведена методика работы с массивами, которые реализованы в виде векторов и матриц, что максимально приближает стиль вычислений к общепринятой математической форме.

Рассматриваются возможности символьного процессора MathCad 11, что позволяет решить многие задачи математики аналитически, без применения численных методов и, соответственно, без погрешностей вычислений.

Так же в методических указаниях разработаны лабораторные работы, в которых рассматривается решение алгебраических нелинейных уравнений и систем таких уравнений.

Составители: О.С. Петров, проф.,

Ю.В. Полупан, асс.

Отв. за выпуск: Петров А.С.

Рецензент:

Методические указания представляют MathCad 11, перечень лабораторных работ, предназначенных для выполнения в математическом пакете MathCad 11, с подробным описанием решения данных задач. При этом в качестве примеров применения системы MathCad 11 взяты расчеты, наиболее часто встречающиеся при решении типовых задач в курсе «Высшая математика» университетов и вузов.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Решение систем линейных уравнений методом Крамера, обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса. Векторная алгебра.

Задача I.

Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера, методом обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.

x - 2y + 3z = 6;

2x + 3y - 4z = 16;

3x - 2y - 5z = 12

Выполнение:

Метод Крамера

1) Изначально необходимо ввести матрицу системы и матрицу свободных членов. Для данного случая:

– матрица системы;

– матрица свободных членов.

а) Для ввода матрицы А щелкните в том месте рабочего окна, в котором хотите создать матрицу A. Введите обозначение А и оператор:=. Вызовите на экран панель инструментов (Матрицы) с помощью последовательности команд: меню Вид - Панели инструментов - Матрицы. Окно имеет вид, изображенный на рис. 1.

Рис. 1.

Активизируйте кнопку под названием (Создать матрицу или вектор). В появившемся диалоговом окне (рис. 2) введите количество строк (Rows) и количество столбцов (Columns) для создаваемой матрицы А. В вашем случае количество строк 3, количество столбцов 3.

Рис. 2.

После выполненных действий в рабочем окне документа появится матрица, в которую необходимо ввести коэффициенты при неизвестных. При введении коэффициентов можно использовать клавишу Tab.

б) Для ввода вектора В щелкните в том месте рабочего окна, в котором хотите создать вектор В. Введите обозначение В и оператор:=. Вызовите на экран панель инструментов (Матрицы) (в том случае, если она па экране отсутствует) с помощью последовательности команд: меню Вид - Панели инструментов - Матрицы. Окно имеет вид, изображенный на рис. 1.

Активизируйте кнопку под названием (Создать матрицу или вектор). В появившемся диалоговом окне (рис. 2) введите количество строк (Rows) и количество столбцов (Columns) для создаваемого вектора В. В нашем случае количество строк 3, количество столбцов 1.

После выполненных действий в поле рабочего документа появится вектор-столбец, вкоторый необходимо ввести коэффициенты при свободных членах решаемой системы. При введении коэффициентов можно использовать клавишу Tab.

2) Вычислим определитель матрицы А. Для этого следует щелкнуть в том месте рабочего листа, где планируется поместить определитель. Щелкните на кнопке (Вычисление определителя) наборной панели (Матрицы). В пустой местозаполнитель появившейся записи внесите имя матрицы |А| и активизируйте клавишу =.

Полученная запись будет иметь вид: |А| = и появится значение определителя матрицы А. Если определитель равен 0, то данная система имеет больше одного решения и не имеет смысла дальнейшее её решение. Если определитель не равен 0, то система имеет единственное решение, которое может быть определено с помощью метода Крамера.

3) Введите матрицы А1, А2, A3 аналогично матрице А. Матрица А1 получается из матрицы А заменой первого столбца в матрице А на столбец свободных членов В, то есть для данной системы имеем:

Матрица А2 получается из матрицы А заменой второго столбца в матрице А на столбец свободных членов В, то есть для данной системы имеем:

Матрица A3 получается из матрицы А путем замены третьего столбца на столбец свободных членов В. Матрицу А3 сформировать самостоятельно.

4) Вычислите определители матриц Al, A2, A3. Для этого установите курсор в ту область рабочего листа, где хотите вычислить определитель и активизируйте кнопку (Вычисление определителя) (рис. 1). Создайте запись =. Аналогично вычислите определители матриц А2 и A3 создав записи = и =.

5) Далее, согласно методу Крамера, создайте формулы для вычисления переменных х, у, z и вычислите их.

Формула для вычисления перемененной х: . Для определения непосредственно значения переменной х, установите курсор правее или ниже данной формулы и напишите х=.

Формула для вычисления у: . Для определения непосредственно значения переменной у, установите курсор правее или ниже данной формулы и напишите у=.

Формула для вычисления z: . Для определения непосредственно значения переменной z установите курсор правее или ниже данной формулы и напишите z=.

Матричный метод

1) При решении системы линейных уравнений данным методом ответом будет являться вектор-столбец, который будет состоять из значений переменных х, у, z, при которых данная система преобразуется в тождество.

2) Для решения системы матричным методом запишите формулу решения системы матричным методом. Формула для данного случая имеет вид: , где R - вектор-столбец, состоящий из значений решения системы. Для получения значений искомых переменных установите курсор правее или ниже данной формулы и напишите R=.

Получим:

3) Решение будет иметь вид . Это значит, что x=7, y=2, z=1. Значения переменных x, y, z, полученные матричным методом, должны быть в точности равны значениям этих перемнных, полученных методом Крамера. Если значения не совпадают, знпачит, в ходе решения либо по методу Крамера либо по методу обратной матрицы были допущены ошибки.

Метод Жордана -Гаусса

1) При решении системы линейных уравнений данным методом ответом будет являться вектор-столбец, который будет состоять из значений переменных x, y, z при которых данная система переобразуется в тождество.

2) Для решения системы методом Жордана-Гаусса запишите формулу, включающую функцию lsolve. Если переменная А обозначает систему, а переменная В обозначает матрицу свободных членов, то данная формула запишется следующим образом: . Для получения значений искомых переменных установите курсор правее или ниже данной формулы и напишите . Получим:

3) Значения переменных x, y, z, полученные методом Жордана-Гаусса, должны быть в точности равны значениям этих перемнных, полученных методом Крамера и методом обратной матрицы. Если значения не совпадают, значит, в ходе решения либо по методу Крамера либо по методу обратной матрицы были допущены ошибки.

Задача II.

Даны координаты вершин А1=(2, -3, 5), А2=(0,2,1), А3=(-2,-2,3), А4=(3,2,4). Средствами векторной алгебры найти:

а) длину ребра А1А2;

б) угол между ребрами А1А2 и А1А3;

в) площадь грани А1А2А3;

г) объём пирамиды А1А2А3А4;

д) высоту пирамиды.

Выполнение:

Введите векторы-столбцы А1, А2, А3, А4 в следующем виде:

а) Для нахождения длины ребра А1А2 необходимо определить этот вектор. Согласно векторной алгебре записываем формулу для определения самого вектора: А1А2:=А2-А1. Для определения длины вектора А1А2 с помощью наборной панели матрицы создайте запись: . Ответ будет получен автоматически и равен 6.708. Для дальнейших вычислений определим вектора А1А3 и А1А4 как

А1А3:=А3-А1

А1А4:=А4-А1

б) Угол между ребрамии определим по формуле известной из курса векторной алгебры:

Для вывода результата, вычисленного по формуле, левее или ниже данной формула запишите .

в) Площадь грани А1А2А3 находим по следующей формуле:

г) Объём пирамиды находим по следующей формуле:

д) Высоту пирамиды вычислим по формуле:

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Задача 1.

Постановка задачи: Решить две системы линейных уравнений методом Крамера, Матричным методом и методом Жордана-Гаусса.

1. В математической системе MathCad создать файл и занести в него условие задачи в соответствии с вариантом (таблица 1). Вариант выбирается по номеру в списке журнала. Сохранить файл под именем «СЛУ-Фамилия».

2. Решить систему линейных уравнений тремя методами. Получить результат в дробном и вещественном виде.

Т а б л и ц а 1.

Варианты заданий

№ варианта	Система	№ варианта	Система
	x₁-x₂+2x₃=2 3x₁+x₂-x₃=3 4x₁-x₂-5x₃=-2 x₁+8x₂-5x₃=-7 3x₁+2x₂+x₃=1 2x₁-3x₂+2x₃=9		6x₁+6x₂+2x₃=-11 11x₁+9x₂+2x₃=-22 4x₁+5x₂+2x₃=-5 12x₁+6x₂+x₃=5 19x₁+16x₂+7x₃=256 x₁+ x₂ =-2
	3x₁-3x₂-4x₃=-1 6x₁-6x₂+x₃=0 4x₁-9x₂-2x₃=-3 3x₁+4x₂+7x₃=1 -2x₁+5x₂-3x₃=1 5x₁-6x₂+11x₃=-3		4x₁+3x₂+2x₃=1 4x₁+5x₂+2x₃=3 3x₁+2x₂+3x₃=5 6x₁+9x₂+4x₃=-8 -x₁-x₂+x₃=2 10x₁+16x₂+7x₃=-15
	2x₁-x₂-x₃=4 3x₁+4x₂-2x₃=11 3x₁-2x₂+4x₃=11 2x₁+x₂-x₃=-1 2x₁-x₂+2x₃=-4 4x₁+x₂+4x₃=-2		x₁+x₂+x₃=-1 3x₁+4x₂+3x₃=-6 9x₁+8x₂+5x₃=-10 -x₁+3x₂-2x₃=2 2x₁-x₂+3x₃=1 2x₁-3x₂+4x₃=-1
	x₁+2x₂-2x₃=-3 2x₁+x₂-2x₃=0 3x₁+x₂+4x₃=6 x₁+2x₂+3x₃=5 x₁+3x₂+2x₃=1 3x₁+x₂+2x₃=11		3x₁+2x₂+2x₃=-1 2x₁+5x₂+3x₃=-6 3x₁+4x₂+4x₃=-5 2x₁+4x₂+3x₃=0 x₁+5x₂+4x₃=-3 -3x₁+5x₂+3x₃=-11
	4x₁+x₂+2x₃=-2 -x₁+2x₂+3x₃=5 -2x₁+3x₂+x₃=8 4x₁+2x₂+x₃=31 2x₁+x₂+5x₃=29 x₁-x₂+3x₃=10		2x₁+2x₂+x₃=2 3x₁+3x₂+x₃=1 2x₁-x₂=8 x₁+3x₂+5x₃=-8 x₁+4x₂+8x₃=-15 x₁+2x₂+6x₃=-13
	6x₁+7x₂+3x₃=2 3x₁+x₂-2x₃=2 2x₁+2x₂+x₃=1 9x₁+9x₂+5x₃=2 4x₁-x₂-2x₃=-5 14x₁+13x₂+7x₃=-1		2x₁-4x₂+9x₃=28 7x₁+3x₂-6x₃=-1 7x₁+9x₂-9x₃=5 x₁+x₂-x₃=36 x₁-x₂+x₃=13 x₁-x₂-x₃=-7
	-2x₁+3x₂+4x₃=5 3x₁-x₂-3x₃=-1 -x₁+2x₂+2x₃=3 3x₁+3x₂+x₃=8 7x₁+6x₂+2x₃=18 7x₁+9x₂+2x₃=21		x₁+2x₂+x₃=4 3x₁-5x₂+3x₃=1 2x₁+7x₂-x₃=8 7x₁+2x₂+3x₃=15 5x₁-3x₂+2x₃=15 10x₁-11x₂+5x₃=36
15.	9x₁+7x₂+3x₃=-10 14x₁+9x₂+4x₃=-15 3x₂+2x₃=5 4x₁+2x₂+x₃=31 2x₁+x₂+5x₃=29 x₁-x₂+3x₃=10	16.	x₁+x₂+x₃=36 2x₁ -3x₃=-17 6x₁ -5x₃=7 2x₁-4x₂+9x₃=28 7x₁+3x₂-6x₃=-1 7x₁+9x₂-9x₃=5
	3x₁-3x₂-4x₃=-1 6x₁-6x₂+x₃=0 4x₁-9x₂-2x₃=-3 x₁+x₂+x₃=-1 3x₁+4x₂+3x₃=-6 9x₁+8x₂+5x₃=-10		3x₁+4x₂+7x₃=1 -2x₁+5x₂-3x₃=1 5x₁-6x₂+11x₃=-3 x₁+2x₂-2x₃=-3 2x₁+x₂-2x₃=0 3x₁+x₂+4x₃=6
	x₁+2x₂+3x₃=5 x₁+3x₂+2x₃=1 3x₁+x₂+2x₃=11 6x₁+7x₂+3x₃=2 3x₁+x₂-2x₃=2 2x₁+2x₂+x₃=1		2x₁+4x₂+3x₃=0 x₁+5x₂+4x₃=-3 -3x₁+5x₂+3x₃=-11 x₁+2x₂+x₃=4 3x₁-5x₂+3x₃=1 2x₁+7x₂-x₃=8

Задача 2.

Постановка задачи: Даны координаты вершин ABCD. средствами векторной алгебры найти: а) длину ребра AB; б) угол между рёбрами AB и AC; в) площадь грани ABCD; объём пирамиды ABCD; г) высоту пирамиды ABCD.

В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица. 2). Вариант выбирается по номеру в списке журнала. Сохранить файл под именем «Пирамида-Фамилия». Где возможно, получить результат в дробном и вещественном виде. Сохранить файл «Пирамида-Фамилия» локально на диске.

Задача 3.

Постановка задачи: Даны точки A, B, C, D. Положим а = , b = . Найти:

а) векторы 2а+b и а-2b;

б) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;

в) скалярное произведение (2а+b)×(a-2b);

г) векторное произведение [(2а+b),(a-2b)];

д) угол между векторами (2а+b)×и (a-2b).

В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица. 2). Вариант выбирается по номеру в списке журнала. Сохранить файл под именем «Векторы-Фамилия». Где возможно, получить результат в дробном и вещественном виде. Сохранить файл «Векторы-Фамилия» локально диске.

Т а б л и ц а 2.

Варианты заданий

1.	A(1,0,2)	B(-1,2,3)	C(2,3,1)	D(-3,4,5,)
2.	A(0,3,-2)	B(4,1,3)	C(-1,1-1)	D(3,2,4)
3.	A(-1,-1,0)	B(1,1,1)	C(-2,1,0)	D(0,-2,7)
4.	A(0,2,0)	B(-2,0,0)	C(3,1,0)	D(0,-1,-3)
5.	A(2,1,-1)	B(-1,-3,-1)	C(0,-1-1)	D(2,4,1)
6.	A(2,2,-1)	B(0,0,0)	C(0,-4,0)	D(2,0,0)
7.	A(-3,2,4)	B(-3,-3,4)	C(0,-3,4)	D(-1,-1,4)
8.	A(5,6,1)	B(6,1,4)	C(1,2,3)	D(2,0,2)
9.	A(-5,6,0)	B(-6,-2,1)	C(-3,4,-1)	D(-1,-7,0)
10.	A(10,9,0)	B(9,8,1)	C(8,7,1)	D(7,6,0)
11.	A(7,7,0)	B(5,6,0)	C(4,5,1)	D(3,4,1)
12.	A(-5,-2,0)	B(-3,-3,1)	C(0,5,0)	D(9,6,1)
13.	A(-1,0,-1)	B(1,1,-1)	C(1,2,-3)	D(0,-2,-4)
14.	A(1,6,2)	B(-1,0,1)	C(4,2,3)	D(-1,-1,4)
15.	A(3,6,4)	B(3,5,3)	C(2,4,2)	D(1,0,1)
16.	A(7,2,7)	B(9,1,7)	C(9,7,6)	D(-1,-1,7)
17.	A(4,-3,2)	B(1,-7,2)	C(-1,0,1)	D(1,1,1)
18.	A(0,-5,3)	B(2,2,2)	C(0,-3,1)	D(7,7,2)
19.	A(1,6,7)	B(0,6,7)	C(-4,5,6)	D(-4,-4,8)
20.	A(2,1,-1)	B(-1,-3,-1)	C(0,-1-1)	D(2,4,1)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2.

Ранжированные переменные, вычисление производных.

Дана функция .

а) найти первую производную функции f(x) и обозначить её через . Привести первую производную к одному знаменателю;

б) найти вторую производную функции f(x) и обозначить её через . Привести вторую производную к одному знаменателю;

в) вычислить значение первой и второй производной в интервале [4;5] с шагом 0.2;

г) найти сумму:

– в качестве слагаемых которой будут служить значения функции , вычисленной в каждой точке интервала ранжированной переменной;

– в качестве слагаемых которой будут служить сумма значений функций и , вычисленных в каждой точке интервала ранжированной переменной;

д) найти произведение:

– в качестве аргументов которого будут служить значения функции , вычисленной в каждой точке интервала ранжированной переменной;

– в качестве аргументов которой будет служить сумма значений функций и , вычисленных в каждой точке интервала ранжированной переменной;

е) на одном графике построить графики функций .

ВЫПОЛНЕНИЕ:

а) Зададим функцию в виде:

Знак суммы «+» и разности «-» ставится после дроби следующим образом:

– установите курсор в знаменатель дроби, например и активизируйте клавишу «Пробел»;

– после того как курсор будет помещен после дроби, выделив её при этом , активизируйте клавишу «+».

б) Для нахождения первой производной воспользуемся панелью инструментов «Вычисления» (Матанализ), рис. 3.

Рис. 3.

Получим выражение первой производной в виде, рис. 4:

Рис. 4.

Присвоим функции выражение первой производной функции рис 5:

Рис. 5.

Для того, чтобы привести функцию к одному знаменателю, выделим выражение, которое необходимо привести к одному знаменателю (рис. 6) и выполним последовательность действий меню Символы-Упростить.

Рис. 6.

После выполнения данной последовательности действий ниже выделенного выражения появиться то же выражение, но приведенное к одному знаменателю рис. 7.

Рис. 7.

в) Для нахождения второй производной аналогично воспользуемся панелью инструментов «Вычисления» (Матанализ), но кнопкой «Производная n-ого порядка» (рис. 8)

Рис. 8.

Получим выражение второй производной в виде, рис. 9:

Рис. 9.

Присвоим функции выражение второй производной функции рис. 10:

Рис. 10.

Для приведения функции к одному знаменателю выполним последовательность действий, указанную в пункте (б).

г) Для вычисления значений первой и второй производной в интервале [4; 5] с шагом h=0.2 сначала необходимо определить значения переменной x на данном интервале, то есть определить переменную x как ранжированную переменную. Общий вид ранжированной переменной следующий:

имя_переменной:=

начальное_значение_интервала,(начальное_значение_интервала+

+шаг)..(конечное_значение_интервала)

В нашем случае:

имя_переменной – x;

начальное_значение_интервала=a=4; шаг=h=0.2; конечное_значение_интервала=b=5.

Таким образом, чтобы определить ранжированную переменную x в соответствии с условием задачи необходимо в MathCad создать следующую запись (рис. 11):

Рис. 11.

Теперь можно вычислить значения первой и второй производной функции , то есть значения функций и соответственно, а также вывести на экран значения переменной x. Для этого достаточно создать следующую запись (рис. 12).

Объяснение = f2(a) = f2(a+h) = f2(a+2h) = f2(a+3h) = f2(a+4h) = f2(a+5h)

Рис. 12.

д) После того как значения функций и определены на заданном интервале с шагом h, можно найти сумму:

Для нахождения суммы воспользуемся панелью инструментов «Вычисления» (Матанализ), рис. 13.

Рис. 13.

Активизируем кнопку «Сумматор ранжированных переменных» и создадим запись рис. 14:

Рис. 14.

Значение суммы расчитывается автоматически после того, как будет поставлен с помощью клавиатуры знак равенства «=». Значение суммы рассчитывается аналогично.

Для нахождения суммы необходимо создать запись рис. 15:

Рис. 15.

После того как значения функций и определены на заданном интервале с шагом h, можно найти произведение:

Для нахождения произведения воспользуемся панелью инструментов «Вычисления» (Матанализ), рис. 16.

Рис. 16.

Активизируем кнопку «Произведение ранжированных переменных» и создадим запись рис. 17:

Рис. 17.

Значение произведения расчитывается автоматически после того, как будет поставлен с помощью клавиатуры знак равенства «=». Значение произведения и рассчитывается аналогично.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Постановка задачи: Дана функция f(x) (таблица 3). Выполнить:

в) вычислить значение первой и второй производной на указанном интервале с указанным шагом;

г) найти сумму:

– в качестве слагаемых которой будут служить значения функции , вычисленной в каждой точке интервала ранжированной переменной х;

– в качестве слагаемых которой будут служить сумма значений функций и , вычисленных в каждой точке интервала ранжированной переменной х;

д) найти произведение:

– в качестве арнументов которой будут служить сумма значений функций и , вычисленных в каждой точке интервала ранжированной переменной;

е) на одном графике построить графики функций .

В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица 3). Вариант выбирается по номеру в списке журнала. Сохранить файл под именем «Переменные-Фамилия» локально на диске.

Т а б л и ц а 3.

Варианты заданий

№ варианта	Функция	Интервал	Шаг
		[15;40]	0.5
		[25;40]	0.2
		[-10;-5]	0.1
		[8;28]	0.4
		[20;35]	0.2
		[-15;35]	0.2
		[5;40]	0.4
8.		[15;36]	0.3
		[10;40]	0.3
		[-40;-10]	0.3
		[-5;-30]	0.2
		[2;8]	0.1
		[2;7]	0.15
		[-5;-25]	0.5
		[3;20]	0.4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.

12 3 4 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: