 |
Решение уравнений и систем нелинейных уравнений. Построение графиков в полярных системах координат.
|
|
|
|
Задача I.
Найти точки пересечения графиков 2-ух функций на интервале [-4; 10]:
ВЫПОЛНЕНИЕ:
а) Решим данную задачу с помощью встроенной в MathCad функции root.
Для этого изобразим поведение данных функций на графике (рис. 32).
Рис. 32.
Для решения данной задачи необходимо найти значение функций в точках (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), (x5,y5).
Так как в точках пересечения функции y1(x) и y2(x) имеют одинаковое значение, то для нахождения искомых точек можно написать следующее равенство:
,
или
.
График функции f(x) изображен на рис. 1. В конечном итоге необходимо решить следующее уравнение:
.
Установим приближенные значения искомых корней. Для нахождения точки (x1,y1) возьмем приближенное значение корня x=-3. Получим:
|
|
.
Для нахождения точки (x2,y2) возьмем приближенное значение корня x=0. Получим:
|
|
.
Для нахождения точки (x3,y3) возьмем приближенное значение корня x=3. Получим:
|
|
.
Для нахождения точки (x4,y4) возьмем приближенное значение корня x=7. Получим:
|
|
.
Для нахождения точки (x5,y5) возьмем приближенное значение корня x=8. Получим:
|
|
.
б) Решим данную задачу с помощью блока Given … Find.
Для этого определим точки приближения (приближенные значения корней). Для нахождения точки (x1,y1) установим начальное приближение x=-3, y=0;
|
|
Для нахождения точки (x2,y2) установим начальное приближение x=0, y=0;
|
|
Для нахождения точки (x3,y3) установим начальное приближение x=3, y=2;
|
|
Для нахождения точки (x4,y4) установим начальное приближение x=7, y=3;
|
|
Для нахождения точки (x5,y5) установим начальное приближение x=8, y=4;
|
|
Задача IІ.
|
|
|
Построить графики функции в полярных координатах, зависящих от угла W на интервале 
:
, 
.
ВЫПОЛНЕНИЕ:
Для начала с помощью ранжирования переменной зададим интервал существования W с шагом 
. Для этого создадим в MathCad следующую запись: 
, где 0 – начальное значение интервала; 
– шаг; 
– конечное значение интервала.
Далее определим сами функции и построим график в полярных координатах (рис. 33).
Рис. 33.
Задача IІІ.
Построить график функции R1(W) в полярных координатах, зависящий от функции R2(W) на интервале :
, .
ВЫПОЛНЕНИЕ:
Для начала с помощью ранжирования переменной зададим интервал существования W с шагом . Для этого создадим в MathCad следующую запись:
,
где 0 – начальное значение интервала; – шаг; – конечное значение интервала.
Далее определим сами функции и построим график в полярных координатах (рис. 34).
Рис. 34.
ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Задача 1.
а) Постановка задачи: с помощью функции root найти точки пересечения графиков 2-ух функций на указанном интервале (табл. 5). Номер варианта выбрать в соответствии с номером в списке журнала.
В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица 5). Сохранить файл под именем «root-Фамилия» локально на диске.
б) Постановка задачи: c помощью блока Given…Find найти точки пересечения графиков 2-ух функций на указанном интервале (табл. 5). Номер варианта выбрать в соответствии с номером в списке журнала.
В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица 5). Сохранить файл под именем «Given-Фамилия» локально на диске.
Т а б л и ц а 5.
Варианты заданий
| № варианта | Система |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
| |
Система №1
Система №2
|
Задача 2.
|
|
|
Постановка задачи: построить графики функций в полярных координатах, зависящих от угла w на указанном интервале (табл. 6). Номер варианта выбрать в соответствии с номером в списке журнала.
В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица 6). Сохранить файл под именем «Полярные1-Фамилия» локально на диске.
Т а б л и ц а 6.
Варианты заданий
| № варианта | Функции | Шаг | Интервал |
| 0,01 | 
| |
| 0,001 | 
| |
| 0,001 | 
| |
| 0,001 | 
| |
| 0,003 | 
| |
| 0,004 | 
| |
| 0,005 |
| |
| 0,005 | 
| |
| 0,008 | 
| |
| 0,008 |
| |
| 0,01 | 
| |
| 0,01 |
| |
| 0,03 | 
| |
| 0,03 | 
| |
| 0,03 | 
|
Задача 3.
Построить график функции R2(w) в полярных координатах, зависящий от функции R1(w) на указанном интервале (табл. 6). Номер варианта выбрать в соответствии с номером в списке журнала.
В математической системе MathCad создать файл и решить в нем поставленную задачу в соответствии с вариантом (таблица 6). Сохранить файл под именем «Полярные2-Фамилия» локально на диске.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.
Символьные вычисления.
Задача I.
Дана функция 
:
а) Разложите по степеням функцию 
с порядком разложения 5, 9, 15 членов;
б) Определите функцию f1(x) которая будет включать 5 членов разложения, функцию f2(x), которая будет включать 9 членов разложения и функцию f3(x), которая будет включать 15 членов разложения;
в) Посчитайте производную от функции f1(x);
г) Постройте на одном графике функцию 
и ее представления в виде функций f1(x), f2(x) и f3(x);
д) С помощью расчетов с плавающей точкой преобразуйте дробные коэффициенты при неизвестных в функциях f1(x), f2(x) и f3(x) в вещественные числа с 8-ю значащими цифрами.
ВЫПОЛНЕНИЕ:
I.а. Из математического анализа известно, что любую функцию , заданную на интервале [a,b] (на данном интервале функция должна существовать) можно разложить в ряд Тейлора. При этом полученное разложение на данном интервале [a,b] будет отличаться от функции на 
(
– бесконечно малая величина).
|
|
|
Для того чтобы функцию разложить в ряд Тейлора необходимо:
– определите в системе MathCad саму функцию в виде: 
;
– выделите переменную, относительно которой необходимо произвести разложение в ряд (рис. 35);
Рис. 35.
– выполните последовательность действий: меню Символы-Переменная-Разложить;
– в появившемся диалоговом окне «Разложить» укажите количество членов разложения (порядок разложения). По условию необходимо указать 5 (рис. 2) и активизировать кнопку Ок.
Рис. 36.
– далее ниже функции будет отображен рядв виде 
.
– аналогично самостоятельно получите разложение с 9-ю и с 15-ю членами разложения (рис. 37).
|
|
|
Рис. 37.
I.б. Для определения функции 
создайте запись в системе MathCad 
и скопируйте после знака присвоить ряд Тейлора с 5-ю членами разложения без величины 
(рис. 38).
Рис. 38.
Аналогично определите функции 
– с 9-ю членами разложения и 
– с 15-ю членами разложения.
I.в. Для того, чтобы посчитать производную от функции установите курсор в том месте, где хотите определить производную и на наборной панели «Матанализ» активизируйте кнопку нахождения первой производной 
. Создайте запись 
и активизируйте кнопку Enter.
I.г. Для построения графика в декартовой системе координат установите курсор в том месте рабочего листа, где будет располагаться левый верхний угол будущего графика и активзируйте кнопку «Декартов график» 
с наборной панели «Графики».
В местозаполнитель по оси ОХ внесите переменную х, по оси OY через запятую внесите три функции 
.
I.д. Для того, чтобы выполнить арифметические операции в выражении с результатом в форме числа с плавающей точкой необходимо:
– выделить все выражение, дробные коэффициенты которого необходимо преобразовать в вещественные числа с плавающей запятой (рис. 39);
Рис. 39.
– выполните последовательность действий меню Символы-Расчеты-С плавающей запятой;
|
|
|
– в появившемся диалоговом окне (рис. 40) укажите количество знаков после запятой (по условию 8) и активизируйте кнопку Ок.
Рис. 40.
– после этого ниже выделенного выражения система MathCad выдаст новое выражение, в котором все дробные коэффициенты будут преобразованы в числа с плавающей запятой (рис. 39). При этом общее количество цифр в каждом числе будет равно 8;
– аналогично преобразуйте дробные коэффициенты в вещественные с плавающей точкой в ряде Тейлора с 9-ю членами и с 15-ю членами.
Задача IІ.
Дана функция 
:
a) Разложите функцию y(x) в ряд Тейлора до 10 членов. Обозначьте полученное разложение функцией y1(x);
b) Постройте график функции y(x) и ее представления в виде функций y1(x).
c) На интервале, где функция y(x) совпадает со своим разложением, то есть с функцией y1(x) найдите значение площади функции y(x) и её разложения y1(x). Добейтесь, чтобы значение площадей функций y(x) и y1(x) совпадали до 3-его знака после запятой;
ВЫПОЛНЕНИЕ:
II.а. Для разложения функции 
в ряд Тейлора:
– создайте в системе MathCad запись 
;
– ниже создайте в системе MathCad запись 
;
– выделите переменную х, относительно которой необходимо произвести разложение в ряд;
– выполните последовательность действий: меню Символы-Переменная-Разложить;
– в появившемся диалоговом окне «Разложить» укажите количество членов разложения (порядок разложения). По условию необходимо указать 10 и активизируйте кнопку Ок.
– далее, ниже функции будет отображен полученный ряд;
– выделите полученный ряд (без последнего члена) и скопируйте в буфер обмена с помощью комбинаци клавиш Ctrl+C (или меню Правка-Копировать);
– ниже полученного ряда создайте запись 
и после знака присвоить (:=) вставьте данные из буфера обмена. Получится запись (рис. 41).
Рис. 41.
II.b. Для построения графика в декартовой системе координат:
– установите курсор в том месте рабочего листа, где будет располагаться левый верхний угол будущего графика и активзируйте кнопку «Декартов график» с наборной панели «Графики».
– в местозаполнитель по оси ОХ внесите переменную х, по оси OY через запятую внесите две функции 
. Получится график функции (рис. 42).
Рис. 42.
– с помощью диалогового окна Трассировка (След) установите интервал [a,b], на котором функции и 
совпадают (рис. 42). Чтобы вызвать диалоговое окно Трассировка, вызовите контекстное меню графика (выполните щелчок правой кнопкой мыши на графике) и из контекстного меню вызовите команду Трассировка (След). Установите курсор в ту точку на графике, координаты которой хотите узнать и в диалоговом окне Трассировки (рис. 43) будет определена координата х и y интересующей Вас точки.
|
|
|
Рис. 43.
Точка а – левая граница интервала по оси ОХ, на котором функции и совпадают, точка b – правая граница интервала по оси ОХ, на котором функции и совпадают.
– определите переменные а и b. В данном случае в системе MathCad создадим запись а:=0, b:=0.7228.
II.с. Найдём площадь функции y(x) и её разложения y1(x) на интервале [a,b], имея в виду, что площадь – это определенный интеграл функции на интервале [a,b]. Для этого:
– установите курсор в том месте, где будете находить определенный интеграл;
– на наборной панели «Матанализ» активизируйте кнопку определенного интеграла 
;
– заполните пустые местозаполнители следующим образом 
и активизируйте клавишу Enter. Справа будет указана площадь фигуры, ограниченной функцией y(x) сверху на интервале [a,b];
– аналогично найдите площадь функции y1(x) на интервале [a,b];
– изменяя значения границ интервала, то есть переменных а и b добейтесь, чтобы значения площадей функции y(x) и y1(x) отличались только в четвёртом знаке.
Задача III.
Дан полином 
:
а) Вычислите коэффициенты полинома по степени х. Определите коэффициент при х0;
б) Вычислите коэффициенты полинома по степени y. Определите коэффициент при y0;
в) Вычислите коэффициенты полинома по степени z. Определите коэффициент при z0;
ВЫПОЛНЕНИЕ:
Операция Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома) служит для вычисления коэффициентов полинома. Операция применяется, если заданное выражение – полином (степенной многочлен) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. Результатом операции является вектор с коэффициентами полинома. Операция полезна при решении задач полиномиальной аппроксимации и регрессии..
III.а. Введите полином в виде
. Выделите переменную, относительно которой необходимо получить коэффициенты полинома. В данном случае выделите переменную х и выполните последовательность действий меню Символы-Коэффициенты полинома. Ниже система MathCad выдаст коэффициенты полинома при переменной х (рис. 44).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 44.
III.b. Выделите переменную, относительно которой необходимо получить коэффициенты полинома. В данном случае выделите переменную y и выполните последовательность действий меню Символы-Коэффициенты плинома. Ниже система MathCad выдаст коэффициенты полинома при переменной y (рис. 44).
III.c. Выделите переменную, относительно которой необходимо получить коэффициенты полинома. В данном случае выделите переменную z и выполните последовательность действий меню Символы-Коэффициенты плинома. Ниже система MathCad выдаст коэффициенты полинома при переменной z (рис. 44).
Задача IV.
Дано выражение 
.
а) замените в выражении 
переменную 
на коэффициент х0 из предыдущего примера, полученного при разложении по степени x. Новое выражение обозначьте через 
. Разверните полученное выражение, то есть откройте скобки и приведите подобные.
б) замените в выражении переменную y на коэффициент y0 из предыдущего примера, полученного при разложении по степени y. Новое выражение обозначьте через 
. Разверните полученное выражение, то есть откройте скобки и приведите подобные.
в) замените в выражении переменную z на коэффициент z0 из предыдущего примера, полученного при разложении по степени z. Новое выражение обозначьте через 
. Разверните полученное выражение, то есть откройте скобки и приведите подобные.
ВЫПОЛНЕНИЕ:
Операция Substitute (Замена) возвращает новое выражение, полученное путем подстановки на место указанной переменной некоторого другого выражения. Последнее должно быть подготовлено и скопировано (операциями Cut или Copy) в буфер обмена. Наряду с получением результата в символьном виде эта команда позволяет найти и числовые значения функции некоторой переменной путем замены ее на числовое значение.
IV.а. Для того, чтобы заменить в выражении переменную 
на коэффициент х0 из предыдущего примера:
– внесите выражение, определяющее коэффициент при х0 из пункта 3.а. В данном случае в системе MathCad необходимо создать запись 
, выделить её и с помощью комбинации клавиш Ctrl+C (или меню Правка-Копировать) скопируйте её в буфер обмена;
– ниже внесите сам полином в виде 
;
– с учетом того, что в буфере находится выражение, определяющее коэффициент при переменной х0, выделите в полиноме переменную х и выполните последовательность действий меню Символы-Переменная-Замена;
– ниже будет выдан полином в котором переменная х заменена на выражение при х0 из пункта 3.а.
Чтобы открыть скобки в полученном выражении и привести подобные выполните последовательность действий:
– выделите выражение, в котором необходимо привести подобные и открыть скобки;
– выполните меню Символы-Развернуть;
– ниже система MathCad выдаст развернутый вариант выделенного выражения.
IV.б. Аналогичные действия проделайте для коэффициентов при y0 и z0.
Задача V.
Разложите на элементарные дроби выражение 
.
ВЫПОЛНЕНИЕ:
Операция Convert to Partial Fraction (Преобразование в частичные доли) возвращает символьное разложение выражения, представленное относительно заданной переменной в виде суммы правильных целых дробей.
Для того, чтобы выполнить разложение дробно-рациональной функции на элементарные дроби выполните:
– введите само выражение, подлежащее разложению на элементарные дроби;
– выделите переменную, относительно которой необходимо разложить дробь, в данном случае выделите переменную х;
– выполните последовательность действий меню Символы-Переменная-Преобразование в частичные доли;
– ниже система MathCad выдаст разложение выражения, представленное относительно заданной переменной х в виде суммы правильных целых дробей.
Задача VI.
Разложите на множители выражение 
;
ВЫПОЛНЕНИЕ:
Операция Factor Expression (Разложить на множители (Фактор)) используется для факторизации – разложения выражений или чисел на простые множители. Она способствует выявлению математической сущности выражений; к примеру, наглядно выявляет представление полинома через его действительные корни, а в том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно-сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. Примеры действия этой операции даны на рис. 45. В большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений.
Рис. 45. Примеры действия команды Factor Expression.
Для того, чтобы выполнить разложение функции на множители выполните:
– введите само выражение, подлежащее разложению на множители. В данном случае введите 
;
– выделите все выражение, которое необходимо разложить на множители;
– выполните последовательность действий меню Символы-Фактор;
– ниже система MathCad выдаст разложение выделенного выражения на множители.
Задача VII.
Решите уравнение 
с подстановкой коэффициентов a, b, c.
ВЫПОЛНЕНИЕ:
– создайте новый файл в системе MathCad;
– выведите на экран наборную панель «Символы» 
;
– введите выражение 
;
– установите курсор в конец выражения 
;
– на наборной панели «Символы» активизируйте команду substitute;
– внесите данные согласно условию а = 2 
;
– в положении, когда курсор установлен после цифры 2, активизируйте команду substitute на наборной панели «Символы» и внесите b = 3;
– в положении, когда курсор установлен после цифры 3, активизируйте команду substitute на наборной панели «Символы» и внесите с = -4;
– в положении, когда курсор установлен после цифры 3, активизируйте команду solve на наборной панели «Символы» и в пустой местозаполнитель внесите х (рис. 46);
Рис. 46.
– активизируйте клавишу Enter на клавиатуре.
ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Задача 1.
Дана функция . Функцию выбрать из таблицы 7 в соответствии с номером в списке журнала.
Т а б л и ц а 7.
Варианты заданий
1) 
| 8) 
|
2) 
| 9) 
|
3) 
| 10) 
|
4) 
| 11) 
|
5) 
| 12) 
|
6) 
| 13) 
|
7) 
| 14) 
|
15) 
|
а) Разложите по степеням функцию с порядком разложения 5, 9, 15 членов;
б) Определите функцию f1(x) которая будет включать 5 членов разложения, функцию f2(x), которая будет включать 9 членов разложения и функцию f3(x), которая будет включать 15 членов разложения;
в) Посчитайте производную от функции f1(x);
г) Постройте на одном графике функцию и ее представления в виде функций f1(x), f2(x) и f3(x);
д) С помощью расчетов с плавающей точкой преобразуйте дробные коэффициенты при неизвестных в функциях f1(x), f2(x) и f3(x) в вещественные числа с точностью после запятой до 8-ого знака.
Задача 2.
Дана функция y(x). Функцию выбрать из таблицы 8 в соответствии с номером в списке журнала.
Т а б л и ц а 8.
Варианты заданий
1) 
| 8) 
|
2) 
| 9) 
|
3) 
| 10) 
|
4) 
| 11) 
|
5) 
| 12) 
|
6) 
| 13) 
|
7) 
| 14) 
|
15) 
|
а) Разложите функцию y(x) в ряд Тейлора до 10 членов. Обозначьте полученное разложение функцией y1(x);
б) На интервале, где функция y(x) совпадает со своим разложением, то есть с функцией y1(x) найдите значение площади функции y(x) и её разложения y1(x). Добейтесь, чтобы значение площадей функций y(x) и y1(x) совпадали до 3-его знака после запятой;
в) Постройте график функции y(x) и ее представления в виде функций y1(x).
Задача 3.
Дан полином. Полином выбрать из таблицы 9 в соответствии с номером в списке журнала.
Т а б л и ц а 9.
Варианты заданий
1) 
|
2) 
|
3) 
|
4) 
|
5) 
|
6) 
|
7) 
|
8) 
|
9) 
|
10) 
|
11) 
|
12) 
|
| 13)
|
14) 
|
15) 
|
а) Вычислите коэффициенты полинома по степени х. Определите коэффициент при х0;
б) Вычислите коэффициенты полинома по степени y. Определите коэффициент при y0;
в) Вычислите коэффициенты полинома по степени z. Определите коэффициент при z0;
Задача 4.
Дано выражение 
. Выражение выбрать из таблицы 10 в соответствии с номером в списке журнала.
Т а б л и ц а 10.
Варианты заданий
1) 
| ||||
2) 
| ||||
3) 
| ||||
4) 
| ||||
5) 
| ||||
6) 
| ||||
7) 
| ||||
Воспользуйтесь поиском по сайту:  ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|