Критериальный язык описания выбора

На примере описания выбора видно, как об одном и том же явлении можно говорить на языках различной общности. К настоящему моменту сложилось три основных языка описания выбора. Самым простым, наиболее развитым (и, быть может, поэтому чаще употребляемым в приложениях) является критериальный язык. Это название связано с основным предположением, состоящим в том, что каждую отдельно взятую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением критерия), и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел.

Пусть x – некоторая альтернатива из множества X. Считается, что для всех x Î X может быть задана функция q (x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т. д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива x ₁ предпочтительнее альтернативы x ₂ (будем обозначать это x ₁ > x ₂), то q (x ₁) > q (x ₂) и обратно.

ALTERNATIVE альтернатива CHOICE выбор CRITERION критерий REFERENCE POINT опорная точка ASPIRATION LEVEL уровень притязаний   Выбор можно определить как целевое сужение множества альтернатив. Основой критериального языка описания выбора является предположение о возможности оценить каждую отдельно взятую альтернативу определенным числом. При этом выбор сводится к отысканную альтернативы с наибольшим значением критериальной функции. Многокритериальные задачи не имеют однозначного общего решения. Поэтому предлагается много разных способов придать многокритериальной задаче частный вид, обладающий единственным решением. Естественно, что для разных способов эти решения в общем случае оказываются различными. Поэтому едва ли не главное в решении многокритериальной задачи – обоснование именно данного вида ее постановки.

ВЫБОР КАК МАКСИМИЗАЦИЯ КРИТЕРИЯ

Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий q (x) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой x * является, естественно, та, которая обладает наибольшим значением критерия:

. (1)

Задача отыскания x *, простая по постановке, часто оказывается сложной для решения, поскольку метод ее решения (да и сама возможность решения) определяется как характером множества X (размерностью вектора x и типом множества X – является ли оно конечным, счетным или континуальным), так и характером критерия (является ли q (x) функцией или функционалом и какой или каким именно).

Однако сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, так как на практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением (см. § 3.3). Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, при выборе конструкции самолета проектировщикам следует учитывать множество критериев: технических (высотность, скорость, маневренность, грузоподъемность, длительность полета и т.д.), технологических (связанных с будущим процессом серийного изготовления самолетов), экономических (определяющих затраты на производство, эксплуатацию и обслуживание машин, их конкурентоспособность), социальных (в частности, уровень шума, загрязнение атмосферы), эргономических (условия работы экипажа, уровень комфорта для пассажиров) и пр. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный критерий: вспомните хотя бы затруднения при выборе подарка ко дню рождения или при выборе места для стоянки в турпоходе.

7.1 ————— Иллюстрация методов решения многокритериальных задач: а) оптимизация по одному “суперкритерию”, являющемуся линейной комбинацией частных критериев; 6) метод уступок; в) задание уровней притязания; г) нахождение паретовского множества альтернатив

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i (x), i = 1,..., p. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве X окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех p критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор (так, например, на рис. 7.1 множеству X соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q ₁ и q ₂; оба критерия желательно максимизировать).

СВЕДЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ К ОДНОКРИТЕРИАЛЬНОЙ

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

q ₀(x) = q ₀(q ₁(x), q ₂(x),..., q_p (x)). (2)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q ₀, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q ₀ определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

; (3) . (4)

Коэффициенты s_i обеспечивают, во-первых, безразмерность числа q_i / s_i (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла) и, во-вторых, в необходимых случаях (как в формуле (4)) выполнение условия? _iq_i / s_i £ 1. Коэффициенты? _i и? _i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

(5)

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и его даже “небольшое” изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой. На рис. 7.1, а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (3), что отражается в изменении наклона соответствующей прямой: q ₀₁(x ₁*) > q ₀₁(x ₂*), но q ₀₂(x ₁*) < q ₀₂(x ₂*). Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: “чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше”. На рис. 7.1, а направления, соответствующие суперкритериям q ₀₁ и q ₀₂, изображены стрелками. Идея такого упорядочивания в многомерном пространстве заложена в некоторых балльных системах оценки вариантов [34]. Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля в заданном направлении, дает максимизация минимального критерия [23]:

(6)

что означает поиск вокруг направления? _iq_i / s_i = const методом “подтягивания самого отстающего”.

УСЛОВНАЯ МАКСИМИЗАЦИЯ

Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим теперь второй способ решения таких задач. Он заключается в ином, нежели при свертывании, использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие). Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении основного, главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформулировать задачу выбора как задачу нахождения условного экстремума основного критерия:

(7)

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. На рис. 7.1, б приведено решение задачи

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в задаче (7). Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа неравенств:

(8)

На рис. 7.1, б приведено решение задачи . Отметим, что такое, казалось бы, незначительное изменение постановки задачи требует принципиально иных методов ее решения. Мы пока не будем касаться этой стороны вопроса и рассмотрим лишь различия в постановках задач выбора.

ВАРИАНТЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ РАЗНОВАЖНЫХ КРИТЕРИЯХ

Условная оптимизация, изложенная в предыдущем разделе, является не единственно возможным подходом к рассмотрению задач с разноважными критериями. Возможны и другие варианты, отличие между которыми проистекает из того, что степень разноважности критериев может быть слабо выраженной, а может быть и весьма сильной.

Встречаются случаи, когда пользователь готов на некоторое снижение величин более важных критериев, чтобы повысить величину менее важных. В таких ситуациях можно пользоваться методом уступок. Идею этого метода можно изложить следующим образом.

Пусть частные критерии могут быть пронумерованы в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу (на рис. 7.1, б это x ₂*, если самым важным критерием является q ₂, и x ₄*, если им является q ₁). Затем определим “уступку”? q_i, т.е. величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы в пределах этой уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия (на рис. 7.1, б полученные таким образом альтернативы изображены точками x ₃* и x ₅*). Далее (если число критериев более двух) определяется уступка по только что максимизированному критерию и максимизируется следующий; процедура повторяется до тех пор, пока перечень критериев не закончится.

Как видим, в методе уступок предполагается, что разница в важности критериев не слишком велика; можно предположить, что величина уступок как-то связана с нашим ощущением этой разницы.

Противоположным крайним случаем является ситуация, в которой разница между упорядоченными критериями настолько велика, что следующий в этом ряду критерий рассматривается только в том случае, если сравниваемые альтернативы неразличимы по старшим критериям. Ни о каких уступках при этом не может быть и речи. В этой ситуации выбор довольно часто заканчивается на первом же шаге, а до последнего критерия дело обычно не доходит (точнее, он “изобретается” в том чрезвычайно редком экзотическом случае, когда принятые ранее критерии не выделили единственной альтернативы). Такой выбор получил название лексикографического упорядочивания альтернатив, поскольку этот метод используется при упорядочении слов в различных словарях (предпочтительность определяется алфавитным рангом очередной буквы в данном слове).

ВЫБОР МЕЖДУ УПОРЯДОЧЕНИЯМИ

Для рассматриваемых методов многокритериальной оптимизации существенным является исходное упорядочение критериев. Иногда их порядок очевиден (“кошелек или жизнь?”) или общепризнан (как порядок букв в алфавите), но бывает, что этот вопрос не тривиален, а привлекаемые для его решения эксперты дают несовпадающие упорядочения критериев. Выход состоит в том, чтобы установить, какое из предложенных экспертами упорядочений является “средним”, “типичным” для данной группы. Это опять-таки можно делать по-разному. Среди специалистов пользуется признанием упорядочение, называемое медианой Кемени.

Обозначим через R_i упорядочение критериев, предложенное i -м экспертом. Введем некоторую меру расхождения между двумя (i -й и j -й) ранжировками: d (R_i, R_j). Медианой Кемени R * среди n предложенных упорядочений R ₁, R ₂,..., R_n называется то из них, которое отвечает условию

,

т.е. то, сумма “расстояний” до которого от всех остальных минимальна. Ясно, что многое зависит от того, как определить расстояние d. Например, если R_i = q ₁ ⁽ⁱ⁾,..., q_p⁽ⁱ⁾, то d_p (R_i, R_j) можно определить как d (h_i, R_{j 1}) = = p – , где?(x⁽ⁱ⁾, x^(j)) – символ Кронекера.

Однако следует отметить, что с медианой Кемени связано несколько трудностей. Во-первых, оптимизационная задача по нахождению R * решается методами дискретной оптимизации (динамического программирования, ветвей и границ, и др.), трудоемкость которых экспоненциально растет с увеличением размерности задачи. Во-вторых, иногда решение задачи не единственно, и в этом случае возникают трудности: в литературе приводится пример, когда в одной из оптимальных ранжировок конкретная альтернатива стоит на первом месте, а в другой – на последнем). Поэтому используют и другие способы упорядочения, наиболее известным из которых является метод строчных сумм. Пусть критерии сравниваются попарно: a_ij = 1, если k -й эксперт считает, что q_i важнее q_j; 0, если наоборот; 1/2, если он считает их равноценными. Для каждого критерия вычисляют величины , i = I, n, и критерии упорядочивают по этой “сумме очков” – совсем как по турнирной таблице в спорте. Однако и этот метод может давать сбои, как и всякое голосование (см. § 7.5).

ПОИСК АЛЬТЕРНАТИВЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Третий способ многокритериального выбора относится к случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или их границы), и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям, либо, установив, что такая альтернатива во множестве X отсутствует, найти в X альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего. Характеристики решения такой задачи (сложность процесса вычислений, скорость сходимости, конечная точность и пр.) зависят от многих факторов. Снова оставив в стороне вычислительные и количественные аспекты (что является далеко не простой и в ряде случаев нерешенной задачей), обсудим некоторые принципиальные моменты данного подхода.

Удобным свойством является возможность задавать желательные значения` q<sub>i</sub> критериев как точно, так и в виде верхних или нижних границ; назначаемые значения величин` q_i иногда называют уровнями притязаний [48], а точку их пересечения в р -мерном пространстве критериев – целью [23] или опорной точкой [48], идеальной точкой [22]. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множества X в пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и вне X (достижимая или недостижимая цель; на рис. 7.1, в приведены оба варианта, соответственно x ₁* и x ₂*).

Теперь идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтернативы, приближаться к x * по некоторой траектории в пространстве X. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой x и целью x *, т.е. между векторами q (x) = (q ₁(x),..., q_p (x)) и` q = (` q ₁,...,` q_p). Можно по-разному количественно описать эту близость. Например [23], используют расстояния типа

(9)

либо [48] расстояния типа

(10)

где считается, что q_i ³` q<sub>i</sub>,? <sub>i</sub> – коэффициенты, приводящие слагаемые к одинаковой размерности и одновременно учитывающие разноважность критериев,? <sub>p +1</sub> выражает наше отношение к тому, что важнее – уменьшать близость к цели любого из частных критериев или суммарную близость всех критериев к целевым значениям. Если часть уровней притязания ограничивают критерии снизу (q<sub>i</sub> ³` q_i, i = 1,..., p'), часть ограничивают их сверху (q_i £` q<sub>i</sub>, i = p' + 1,..., p''), а остальные задают их жестко (q<sub>i</sub> =` q_i, i = p'' + 1,..., p), то функцию (10) модифицируют:

(11)

где

Конечно, возможны и другие меры близости, но для функций (9) и (11) проведены подробные исследования их математических свойств, что важно для обеспечения сходимости процесса минимизации этих функций, в ходе которого обеспечивается приближение к x *.

НАХОЖДЕНИЕ ПАРЕТОВСКОГО МНОЖЕСТВА

Четвертый полностью формализуемый способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной “наилучшей” альтернативы и соглашении о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается. На рис. 7.1, г жирной линией выделено множество Парето для рассматриваемого примера. При необходимости же выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые, добавочные критерии и ограничения, либо бросать жребий, либо прибегать к услугам экспертов.

7.2 ————— Классификация задач выбора и способов их решения при их описании на критериальном языке

Мы обсудили наиболее употребительные способы описания выбора в терминах критериального языка. Возможны и другие постановки задач на этом языке; наша цель состояла в том, чтобы дать лишь общее представление об их многообразии. Математические аспекты решения изложенных и других задач оптимизации рассматриваются в ряде монографий и учебников (см., например, [22]). Для обозримости и облегчения запоминания приведем схему совокупности изложенных способов (рис. 7.2)

Подведем итог Главный результат данного параграфа состоит в том, что для общей задачи многокритериальной оптимизации не существует единственного решения, а ее частные постановки, имеющие единственное решение, приводят к разным результатам. Поэтому лицо, принимающее решения на основе использования оптимизационных методов, должно с наибольшим вниманием относиться прежде всего к постановке задачи, к тому, в какой степени именно такая постановка соответствует стоящей перед ним проблеме.

Summary The gist of this section is that the multicriterial optimization problem have no single solution and that solutions of its particular formulations are generally different for different formulations. This is why a decision maker using the optimization technique must pay great attention to the problem formulation, being especially sensitive to the correspondence between this particular mathematical formulation and the nature of the real-life problem.

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: