 |
Основные сведения о цепях синусоидального тока
|
|
|
|
Перед выполнением лабораторных работ, посвящённых исследованию цепей синусоидального тока, весьма полезным является изучение соответствующих разделов по лекциям или учебникам. Данный раздел не претендует на выполнение этой цели и служит для первоначального знакомства с основными понятиями и элементами цепей синусоидального тока.
Формы представления синусоидальных напряжений,
ЭДС и токов
Допустим, что имеем некоторую цепь, в которую включены источники питания (источники ЭДС или источники тока), вырабатывающие синусоидальную ЭДС или синусоидальный ток одной частоты, а также приёмники (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы). Для того, чтобы экспериментально или теоретически изучить режим работы такой цепи (а может быть и область возможных режимов работы), необходимо, прежде всего, уяснить, каким образом представлять синусоидально изменяющиеся во времени параметры режимов работы этой цепи. Т.е., иными словами, в какой форме представлять синусоидальные напряжения, ЭДС или ток для того, чтобы с этими представлениями можно было удобно и наглядно проводить расчёты или измерения.
Известно, что любую функцию можно представить в аналитической, графической и табличной формах.
Широко распространенные ранее таблицы значений sin x (x изменяется от 0 до 90 угловых градусов) в настоящее время вытеснены в результате массового производства микрокалькуляторов. Поэтому табличное представление указанных величин в практике расчётов по электротехнике в настоящее время не используется.
Как следует из определения, аналитическая форма представления указанных параметров режимов может быть записана в виде:
|
|
|
(1)
Для уяснения смысла всех параметров, указанных в (1), приведём графическую форму представления синусоидальных величин (рис.1) и составим эти формы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.
– амплитудное значение ЭДС, напряжения и тока, т. е. максимальное по абсолютной величине значение параметра режима, которое он может принимать в течение времени. Амплитудные значения измеряются в Вольтах (В) или Амперах (А), соответственно. По оси абсцисс на графике (рис.1) в качестве аргумента принято брать параметр 
, имеющий размерность – радианы, и пропорциональный времени 
.
– начальная фаза ЭДС, напряжения и тока, которая показывает, какую величину составляет рассматриваемый параметр режима (
, 
или 
) в момент времени, принятый за начало отсчёта 
. Иными словами начальная фаза определяет сдвиг графика синусоиды вдоль оси времени 
относительно начала отсчёта. Если в момент 
(начала отсчёта) рассматриваемая синусоидальная величина отрицательна, то её начальная фаза
,
в противном случае
.
Поэтому количественно начальная фаза 
определяется вдоль оси абсцисс от ближайшего к началу координат нулевого значения синусоидальной величины при её переходе от отрицательных значений к положительным относительно оси абсцисс. Если начальная фаза положительна, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, в противном случае – вправо от начала координат. Так на рис.1 начальная фаза тока 
– положительна; начальная фаза ЭДС 
– положительна; кроме этого 
. наконец, начальная фаза U 
- отрицательна. Начальная фаза измеряется в угловых градусах или радианах.
Аргумент синусоидальной величины 
носит название фазы (фазы колебаний). Она измеряется в радианах или угловых градусах и показывает, в какой фазе находятся колебания напряжения, ЭДС или тока в данный момент времени. Как видно (рис.1), при различных значениях фазы колебания можно получить одинаковые значения функции.
|
|
|
Для того чтобы анализировать многозначные синусоидально изменяющиеся функции, их принято рассматривать на участке вдоль оси абсцисс с полным циклом изменения фазы колебаний. Такой участок называется периодом колебаний и определяется как минимальный промежуток времени (или минимальное расстояние вдоль оси абсцисс) между двумя одинаковыми значениями синусоидальной функции. Период 
измеряют в секундах; для аргумента 
период равен 
радиан или 360º.
Величину обратную периоду колебаний 
называют циклической частотой колебаний
.
Циклическая частота 
измеряется в Герцах и показывает какое число полных циклов колебаний (или периодов) данной синусоидальной функции происходит в одну секунду.
Также важным параметром является угловая частота колебаний 
(радиан/секунда или угловые град / секунда).
Весьма важным понятием в электротехнике является разность фаз 
, под которой понимают сдвиг графиков синусоидальных величин один относительно другого. Разность или сдвиг фаз, например, между синусоидальными напряжением и током одинаковой частоты (рис.1) можно определить как разность их начальных фаз
.
Аналогично разность фаз между 
и 
.
Следует помнить, что поскольку начальная фаза есть величина алгебраическая, то разность фаз также величина алгебраическая. И ещё одно важное обстоятельство. Начальная фаза колебаний зависит от момента времени, принятого за начало отсчёта 
, в то же время разность фаз не зависит или, говорят, инвариантна относительно начала координат, если частота синусоидальных функций, между которыми определяется 
, одинакова.
Как видно, аналитическая и графическая формы представления синусоидальных величин определяется сравнительно большим числом параметров, поэтому они не нашли применения в расчетах и используются, преимущественно, для наглядного представления результатов расчёта или измерения.
Необходимость оценки или измерения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью одного какого-либо параметра привела к появлению различных эквивалентов. Наибольшее распространение получило действующее значение синусоидального тока, которое является его тепловым эквивалентом и определяется такой величиной постоянного тока, который производит такой же тепловой эффект, что и оцениваемый синусоидальный ток, протекая через тот же 
-элемент (с тем же сопротивлением), что и синусоидальный ток за одно и то же время. Если в линейной цепи действуют синусоидальные ЭДС, то действующее значение синусоидального тока определяется как
|
|
|
, (2)
где 
– действующее значение синусоидального тока; 
– амплитудное значение синусоидального тока. По аналогии определяются действующие значения синусоидального напряжения и ЭДС:
; 
. (3)
Следует заметить, что этот эквивалент для синусоидальных напряжений и ЭДС не имеет конкретного физического смысла, как для тока, так и для напряжения.
Действующее значение синусоидального тока, напряжения или ЭДС нашло широкое применение в измерительной технике. Многие измерительные приборы (вольтметры, амперметры), используемые в электротехнических измерениях, проградуированы в действующих значениях напряжения и тока.
Несмотря на это данный эквивалент не может однозначно описать указанные синусоидальные величины, поскольку ничего не говорит о фазе колебаний. Как будет показано в дальнейшем, одинаковые действующие значения синусоидального тока и напряжения при различной величине сдвига фаз между ними обеспечиваются различными энергетическими явлениями в цепи. Поэтому только использование действующего значения оказывается явно недостаточным при расчетах.
Попытки преодолеть указанные недостатки привели к представлению синусоидальных функций времени их изображением в виде вращающихся радиус-векторов в декартовой плоскости координат. На рис.2 представлен радиус-вектор 
, длина которого равна 
. Данный вектор вращается в декартовой плоскости координат 
против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью 
и поворачивается за время одного оборота 
на угол 
, т.е. 
. Положение радиус-вектора 
относительно оси 
в момент начала отсчёта времени 
определяется углом 
. За отрезок времени 
радиус-вектор повернётся на угол 
и его положение относительно оси определится углом 
. За время 
радиус-вектор переместится на угол 
и займёт положение, определяемое углом 
и т.д. Проекция вращающегося радиус-вектора на ось 
в момент времени 
определится выражением 
. Очевидно, при 
величина вектора составит 
(отрезок 
) и т.д. На этом же рис. 2 построена синусоида, мгновенные значения которой для любого момента времени 
найдены как соответствующие проекции вращающегося радиус-вектора на ось 
в тот же момент времени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.
На основании приведённых построений можно утверждать, что между вращающимся радиус-вектором и некоторой синусоидальной функцией времени существует взаимно однозначное соответствие. А именно, любому равномерно вращающемуся радиус-вектору однозначно соответствует некоторая синусоидальная функция времени. И, наоборот, любая синусоидальная функция времени может быть условно изображена однозначно соответствующим ей вращающимся радиус-вектором, длина которого равна амплитудному значению синусоиды, а начальное положение относительно оси 
определяется начальной фазой синусоиды.
Такое представление синусоидальных функций времени может быть использовано в расчётах цепей переменного тока.
Допустим, для некоторого узла электрической цепи по первому закону Кирхгофа можно записать уравнение:
или
. (4)
При этом для 
и 
известны аналитические выражения
(5)
Путём элементарных тригонометрических преобразований можно показать, что сумма двух синусоид одинаковой частоты 
представляет собой синусоиду той же частоты 
. Т.е. данный расчёт сводится к определению 
и 
в выражении
(6)
Если воспользоваться аналитическим представлением синусоидальных токов 
, 
и 
, то искомые параметры можно получить с помощью известных тригонометрических преобразований:
(7)
Как видно, решение задачи получается громоздким даже в том случае, когда суммируются только две функции, в то время как задачи электротехники очень часто требуют суммирования нескольких величин.
Ещё боле громоздким и к тому же менее точным получается решение этой задачи, если её проводить для графического представления синусоидальных величин (рис.1). В этом случае необходимо предварительное построение графиков заданных токов 
и 
, как функции времени. Затем с их помощью, путём суммирования ординат графиков 
и 
для фиксированных моментов времени, построения графика тока 
. И, наконец, с помощью построенного графика, определение 
и 
.
|
|
|
| |
Проведём решение задачи с помощью радиус-векторов 
и 
вращающихся с частотой 
против часовой стрелки. На рис.3 показаны их положения для момента времени 
. Результирующий вектор 
, полученный сложением 
и 
по правилу параллелограмма, будет также вращаться с частотой 
и являться в свою очередь изображением некоторой синусоидальной функции времени.
Рис. 3.
Учитывая, что
;
,
получим, что для модуля 
и начальной фазы 
результирующего вектора 
справедливы соотношения (7). Следовательно, 
является изображением искомого тока 
. Зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду тока 
. Непосредственно по чертежу (рис.3) определяется и начальная фаза 
. Следует обратить внимание на то, что если все вектора вращаются с одинаковой частотой, то со временем их положения друг относительно друга не изменяется. Поэтому, в принципе, безразлично в какой момент времени рассматривать указанную диаграмму векторов.
В электротехнике принято такие диаграммы строить для момента времени 
, т.е. принято считать, что графическим изображением синусоидальной электрической величины может служить и неподвижный радиус-вектор. Длина этого вектора равна (в выбранном масштабе) амплитудному значению синусоидальной величины, а угол относительно положительного направления оси абсцисс равен её начальной фазе. При этом направление движения векторов против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным. Аналогично определяется знак угла 
радиус-вектора. Так на рис.3 все углы 
, 
, 
положительны.
Такую совокупность радиус-векторов, отображающих синусоидальные величины одной и той же частоты при 
, и учитывающую правильную ориентацию этих векторов по фазе, принято называть векторной диаграммой.
Расчёты с использованием изображающих векторов просты и наглядны, однако обладают существенным недостатком, присущим всем графическим методам, – ограниченной точностью.
В конце XIX века Ч. П. Штейнмецем и А.Е. Кеннели был предложен символический метод расчёта, основанный на представлении синусоидальных напряжений, токов и ЭДС в виде векторов на комплексной плоскости. Комплексные изображения позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчётов.
Некоторый вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости, перенесём на комплексную плоскость, для чего совместим ось x с осью действительных чисел, а ось y с осью мнимых чисел (рис.4). Если при замене координат мы сохраним все условия изображений, о которых было сказано выше, то такой перенос даёт возможность аналитического выражения радиус-вектора.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.
Комплексный вектор принято обозначать в виде 
или 
, имея в виду, что 
– его модуль, а 
– его аргумент или фазовый угол. Известно, что любому вектору 
, расположенному на комплексной площади, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трёх формах:
алгебраической
; 
;(8)
тригонометрической
(9)
показательной
(10)
Здесь символом 
обозначена мнимая единица, 
– основание натурального логарифма, 
– действительная часть комплексного числа, 
– его мнимая часть. В соответствии с формулой Эйлера, все три формы равнозначны:
|
|
|
