 |
Участок цепи с ёмкостным элементом
|
|
|
|
Ёмкостным или С-элементом принято называть такой идеализированный элемент схемы замещения, который, в энергетическом отношении, способен лишь к преобразованию электрической энергии источника и её накоплению в виде энергии собственного электрического поля (поля зарядов). При определенных условиях он способен совершать обратное преобразование, отдавая всю накопленную энергию без остатка во внешнюю цепь (рис. 11).
| i C |
| u C |
Рис. 11.
Прообразом этого идеализированного 
-элемента является электротехническое устройство, называемое конденсатором и, наоборот,
С-элемент является идеализированной моделью конденсатора. Конденсаторы, кроме указанного свойства, обладают ещё рядом свойств, не являющихся для них основными, и поэтому эти свойства в модели не учитываются.
Из курса физики известно соотношение, связывающее величину заряда, накопленного конденсатором, с напряжением между его выводами
, (50)
где q – заряд на одной из обкладок конденсатора (по абсолютной величине), измеряется в кулонах (Кл); uc – разность потенциалов между выводами конденсатора, измеряется в вольтах (В).
Параметр С – количественно характеризует способность ёмкостного элемента запасать электрическую энергию, т. е. накапливать заряды. Этот параметр называется электрической ёмкостью и измеряется в фарадах (Ф).
Известно также, что электрический ток через конденсатор имеет другую физическую природу нежели ток проводимости. Однако количественно ток через конденсатор (ток через 
-элемент) можно определить как скорость изменения зарядов, сосредоточенных на его обкладках
. (51)
|
|
|
Подставив (50) в (51), получим, с учётом, что С -элемент линейный:
. (52)
Соотношение (52), как и (40), показывают, что мгновенные значения напряжения и тока на L -элементе, а также и на С -элементе не связаны законом Ома.
Согласно определению С -элемент безвозвратно электрическую энергию не потребляет. Однако для него также как и для L -элемента можно ввести понятие о мгновенной мощности р. Под ней понимают скорость преобразования энергии, поступающей в 
-элемент, в энергию его собственного поля зарядов и наоборот:
.
отсюда получим
или
. (53)
Соотношение (53) определяет энергию собственного поля С -элемента, накопленную к рассматриваемому моменту времени t 1. Заметим, что (53) также наглядно определяет параметр С, как количественную характеристику С -элемента, показывающую его способность накапливать электрическую энергию: чем больше С, тем при прочих равных условиях больше W.
Пусть к цепи с С -элементом приложено синусоидальное напряжение (рис. 11)
Согласно (52) определим ток, протекающий через этот элемент
. (54)
При синусоидальном напряжении ток ёмкостного элемента также синусоидален; напряжение и ток изменяются с одинаковой частотой; ток опережает напряжение по фазе на четверть периода ψ i = ψ u + 90 º; угол сдвига фаз φ = ψ u – ψ i = – 90º.
Из (49) получим закон Ома для амплитудных
(55)
или действующих значений напряжения и тока
. (56)
Величина 
имеет размерность Ом, носит название ёмкостного сопротивления -элемента и обозначается
.
В этом случае (56) можно записать так
(57)
Определим запись закона Ома в комплексной форме. Для этого перейдем от 
и 
как синусоидальных функций времени к однозначно изображающим их комплексам действующих значений напряжения и тока
|
|
|
.
Возьмем формальное отношение
. (58)
Учитывая (56) и (19), получим окончательно
или 
. (59)
Это есть закон Ома в комплексах действующих значений напряжения и тока.
Величина jx с называется комплексным сопротивлением ёмкостного элемента. Она условно измеряется в Омах и является отрицательным мнимым числом, модуль которого равен x с.
Векторная диаграмма, соответствующая соотношению (59) приведена на рис. 12. На ней показано, что вектор 
опережает вектор 
на 90º.
|
| + j |
|
| ψ i =ψ u +90º |
| +1 |
| 0 |
|
|
|
Рис. 12.
Волновая диаграмма тока и напряжения на участке с С -элементом приведена на рис. 13.
ψ i
π/2
0
u, i
ω t
ω t
0
1
2
3
4
5
i (t)
u (t)
Рис. 13
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в цепи с С -элементом. Мгновенная мощность на ёмкостном элементе
. (59)
График p (t) приведён на рис.13. Видно, что мгновенная мощность в цепи с С -элементом колеблется с частотой 2ω и амплитудой U I вокруг нулевого положения. Следовательно, в этой цепи работа не совершается и энергия источника питания безвозвратно не потребляется. В тоже время происходит периодический обмен энергией между источником и элементом. Рассмотрим этот процесс.
В течение 1-ой четверти периода основной частоты (промежуток времени между точками 1 и 2 на рис.13) U > 0 и i > 0 следовательно, p > 0 т. е. С -элемент работает в режиме потребления энергии. Потребляемая энергия запасается в электростатическом поле С -элемента. В течение 2-ой четверти периода (промежуток времени между точками (2 и 3) u > 0, а i < 0, т. е. и С -элемент работает в режиме источника. Происходит обратный процесс преобразования запасённой энергии С -элементом, которая отдаётся источнику питания. Далее процесс повторяется при отрицательном напряжении.
Интенсивность обмена энергией принято характеризовать наибольшим значением скорости преобразования энергии, т. е. амплитудным значением мгновенной мощности. Как следует из (59)
.
С учетом (57) получим
(60)
Эту величину называют реактивной мощностью С -элемента. Единицей измерения этой мощности служит ВАр.
Рассмотренные модели элементарных участков цепи позволяют рассмотреть поведение более сложных участков электрических цепей. Простейшими являются модели участков с последовательным или параллельным соединением рассмотренных элементарных моделей.
|
|
|
6. Анализ участка схемы с последовательным соединением 
и 
- элементов
С помощью рассмотренных элементов можно изобразить линейную схему замещения любого электротехнического устройства. Например, катушку индуктивности на достаточно низкой частоте синусоидального тока можно представить следующей схемой замещения.
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.
Допустим известно напряжение на зажимах катушки индуктивности
.
(Положим ψ u =0), а также сопротивление R к и индуктивность L к. Необходимо определить остальные параметры режима её работы. Согласно второго закона Кирхгофа для данной цепи можем записать уравнение для мгновенных значений напряжений:
(61)
или
. (62)
Из соотношения (62) видно, что для определения i (t) необходимо решить дифференциальное уравнение. Анализ можно упростить, если перейти к символическому методу расчета такого участка схемы. В комплексной форме уравнение (61) будет иметь вид
. (63)
Согласно (33) и (47) это уравнение можно записать
. (64)
Поскольку элементы в схеме соединены последовательно, то через них протекает один и тот же ток. Тогда
. (65)
Уравнение (61) связывает общее напряжение, приложенное к этой цепи, с током, протекающим в ней. Т. е. (65) есть закон Ома для данной цепи в комплексной форме. Величина:
(66)
измеряется (условно) в Омах и называется полным комплексным сопротивлением участка этой цепи. Эту величину можно интерпретировать в виде векторов на комплексной плоскости.
| + j |
| +1 |
| 0 |
| φ |
|
|
|
Рис. 15.
Действительная часть комплексного сопротивления z
называется активным сопротивлением цепи. Мнимая её часть:
|
|
|
называется модулем комплексного сопротивления -элемента. Треугольник представленный z и её составляющими на рис.15 носит название треугольника сопротивлений. Соотношение (66) определяет алгебраическую форму представления комплекса z. В расчетах получила распространение показательная форма представления z
, (67)
где 
носит название модуля полного комплексного сопротивления или полного сопротивления участка цепи, измеряется в Омах; 
носит название аргумента комплекса 
или фазы полного комплексного сопротивления 
, измеряется в угловых градусах или в радианах. Для сторон треугольника (рис.15) справедливы соотношения
.
С учётом (63) можно определить вектор 
из (65):
(68)
xL > 0 для линейных элементов. Тогда φ > 0 и из (68) видно, что вектор тока 
в такой цепи отстаёт от вектора 
на угол 0<φ<90º. Определив из (68) вектор 
, можно определить падение напряжения на каждом элементе, используя ранее установленные формулы закона Ома для этих элементов
; (69)
. (70)
Построим векторную диаграмму (рис. 16). Построение, как было сказано ранее, начинаем с выбора масштаба по току mi (А/см) и напряжению mu (В/см). Определим вектор 
заданного напряжения. Его модуль 
, фаза ψ u = 0, т. е. вектор располагается вдоль оси действительных чисел (+ 1). Откладываем от т.0 в положительном направлении оси + 1отрезок длиной U / mu (см) и его конец отмечаем стрелкой. Вектор 
построен.
N
+1
+90º
M
K
+ j
0
Рис. 16.
Далее строим вектор тока 
. Этот вектор, как было установлено, отстаёт от вектора 
на угол φ. Причём 0<φ<90º. Поэтому в IV четверти координатной плоскости проводим луч 0М под углом φ к оси + 1. На этом луче от точки 0 откладываем отрезок 
(см). Его конец отмечаем стрелкой. Вектор 
построен. Строим вектор 
. Как было установлено ранее, ток через R -элемент и падение напряжения на нём совпадают по фазе. Это подтверждают соотношения (68) и (69). Для векторной диаграммы это означает, что вектора совпадают по направлению. Поэтому на том же луче 0М от точки 0 откладываем отрезок, равный 
(см), его конец отмечаем стрелкой. Вектор 
построен. Наконец, строим вектор 
. Ранее было установлено, что падение напряжения на L -элементе опережает ток через этот элемент по фазе на 90º. Это подтверждают соотношения (68) и (70). Для векторной диаграммы данный ввод означает, что вектор 
должен быть перпендикулярен вектору 
и направлен в сторону оси + 1 (поскольку разность фаз между 
и 
составляет +90º, а за положительное направление при повороте векторов в электротехнике принято направление против часовой стрелки). Из конца вектора 
(точка К на рис. 16) восстанавливаем перпендикуляр к лучу 0М в направлении оси + 1. На перпендикуляре КN от точки К откладываем отрезок длиной, равной 
(см). Конец этого отрезка отмечаем стрелкой. Вектор 
построен. В случае верного построения всех векторов на данной диаграмме, конец вектора 
совпадает с концом вектора 
. Т. е. сумма векторов 
и 
равна вектору 
, что является геометрической интерпретацией 2-го закона Кирхгофа для данной цепи (63).
|
|
|
Рассмотренные вектора 
, 
, 
образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Для сторон этого треугольника справедливы соотношения:
. (71)
В заключение проанализируем энергетические процессы, протекающие в этой цепи. Как было установлено, интенсивность энергетических процессов, протекающих на участке цепи с R -элементом, можно характеризовать активной мощностью:
, (72)
а интенсивность процессов, протекающих на участке цепи с L -элементом – реактивной мощностью:
. (73)
Поскольку в данной цепи включён R -элемент, то часть энергии источника питания будет безвозвратно потребляться на R -элементе. В то же время из-за наличия L -элемента в этой цепи будет происходить непрерывный обмен (с частотой 2ω) энергией (циркуляция энергии) между магнитным полем L -элемента и источником питания. Для характеристики общего энергетического режима цепи вводят понятие о полной мощности.
Определим её величину. Из (71) и (72) можно записать
(74)
(75)
Возведём в квадрат (70) и (71) и сложим полученные результаты
(76)
или
, (77)
где S – полная мощность этого участка цепи, измеряемая в вольтамперах (ВА).
Можно записать соотношение между полной мощностью и её составляющими в комплексной форме. Для этого каждую сторону треугольника сопротивлений (рис. 15) умножим на 
. Вновь образованный прямоугольный треугольник (рис. 17) определяет своей гипотенузой полную мощность, а катетами – активную и реактивную мощности. Данный треугольник называется треугольником мощностей. Его стороны связаны соотношением:
. (78)
S – полная комплексная мощность данного участка цепи. Её модуль
.
| + j |
| +1 |
| 0 |
|
|
|
|
Рис. 17.
Полная мощность и её составляющие измеряются единицами мощности одинакового масштаба. Однако для того, чтобы подчеркнуть разную физическую природу энергетических процессов, интенсивность которых они оценивают, эти единицы измерения называют по-разному:
Треугольники сопротивлений (рис. 15), напряжений (рис. 16) и мощностей (рис.17) подобны. Из этого, в частности, следует, что
. (79)
Предоставляем студентам самостоятельно провести аналогичный анализ для участка цепи, содержащего последовательное соединение R и C-элементов.
|
|
|
