Ламинарное течение жидкости
Напомним, что ламинарное течение - это упорядоченное слоистое течение, математическое описание которого основано на законе трения Ньютона.
а уравнение сил, действующих на выделенный объём, будет выглядеть
Выразив отсюда
Из последней формулы следует, что касательные напряжения трения линейно зависят от радиуса потока. Это показано на рисунке. С другой стороны, касательные напряжения по закону Ньютона равны
Из этого соотношения можно найти приращение скорости
т.е. при увеличении радиуса скорость уменьшается, что соответствует эпюре скоростей. После интегрирования, получим
которая, с математической точки зрения, является квадратной параболой и очерчивает эпюру распределения скоростей по сечению потока. Максимальное значение скорости достигается в центре потока при r=0 и составляет
Используя значение скорости u, определим величину расхода через кольцевую площадь dωc шириной dr, находящуюся на расстоянии r от центра трубы. Выше было отмечено, что скорость в любой точке этого кольца одинакова, и тогда
Проинтегрировав dQ по всей площади трубы (т.е. от r = 0 до r = r0), получим Средняя скорость в таком потоке будет Заметим, что средняя скорость потока с параболическим распределением скоростей вдвое меньше максимальной. Из последнего выражения легко получить закон сопротивления потоку, т.е. зависимость потерь энергии от размеров и параметров движения жидкости: Заменив в этом выражении динамический коэффициент вязкости Полученное выражение носит название закона Пуазейля и применяется для расчета потерь энергии с ламинарным течением. Эту же величину потерь на трение ранее мы выразили формулой Дарси. Если приравнять правые части формулы Дарси и закона Пуазейля, получится: Заменим расход произведением
Искусственно умножим и разделим числитель и знаменатель на V: Очевидно, что в этом случае
Это выражение для коэффициента гидравлического трения при ламинарном движении жидкости хорошо подтверждается экспериментом и используется на практике для определения потерь энергии в потоке при ламинарном течении. Иногда этот коэффициент обозначается Зная полученные выше выражения для скорости элементарной струйки u и для средней скорости потока V, можно вычислить значение коэффициента кинетической энергии
Учтём, что
Раскроем интеграл в числителе
Проинтегрируем эту функцию в пределах от 0 до r0, т.е. по сечению потока
Теперь рассмотрим знаменатель выражения для α:
Разделив полученные числитель на знаменатель, будем иметь значение коэффициента кинетической энергии α:
Это значит, что кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей вдвое превышает кинетическую энергию того же потока с равномерным распределением скоростей. В некоторых случаях удобно знать другой поправочный коэффициент, который учитывает отличие действительного количества движения потока от его значения, посчитанного с использованием средней скорости потока V. Этот коэффициент обозначают α0, называют коэффициентом количества движения и вычисляют по формуле
По аналогии с вычислением коэффициента α, подставив вместо u и V соответствующие выражения, после возведения в квадрат и замены переменной интегрирования получим для числителя:
После интегрирования в пределах от 0 до r0, числитель примет вид
Знаменатель выражения для α перепишем в виде
После деления числителя на знаменатель получим значение коэффициента количества движения α0:
Эта величина для ламинарного потока с параболическим распределением скоростей, так же как и α, является величиной постоянной. Все приведённые зависимости справедливы для участков прямых гладких труб постоянного сечения с параболическим распределением скоростей по живому сечению потока.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|