Медіана варіаційного ряду

Варіаційний ряд завжди має єдину медіану, значення якої може бути або не бути одним з можливих значень відповідної ознаки.

Медіаною з. в. р. у ₁, у ₂, …, у_п називається число Ме, яке ділить останній на дві рівні за обсягом частини.

З означення медіани з. в. р. витікає:

– якщо п= 2 k+ 1 – непарне число (), то Ме=у_{k+ 1};

– якщо п= 2 k – парне число, то Ме=(у_k+у_{k+ 1} )/ 2.

При цьому очевидно, що якщо з. в. р. побудований для дискретної ознаки, то для парного числа п медіана не є однією з варіант даного з.в.р. В інших випадках медіана є однією з варіант даного з.в.р.

Медіана з. в. р. має важливу властивість: сума модулів відхилень варіант від медіани менша, ніж від будь-якого іншого числа:

.

Медіаною д. в. р. називається медіана відповідного з. в. р.

Для знаходження медіани д. в. р. спочатку необхідно для кожної його варіанти х_k обчислити її накопичену (або кумулятивну) частоту S_k (частку T_k):

. (1.5)

При цьому можливі такі два випадки:

1. Для жодної з варіант S_k≠п/ 2 (T_k ≠ 1 / 2 ). Тоді медіаною д. в. р. буде перша з варіант х_k, для яких S_k >п/ 2 (T_k > 1 / 2 ).

2. Для деякої k -ї варіанти S_k=п/ 2 (T_k= 1 / 2 ). Очевидно, що це можливо тільки у випадку, коли n= 2 l – парне число (lєN). Тоді Ме = (х_k+x_{k+ 1} )/ 2.

Медіаною і. в. р. називається таке число Ме, для якого вертикальна пряма, що проходить через точку х=Ме, ділить гістограму частот або часток даного і. в. р. на дві рівновеликі частини.

Для знаходження медіани і. в. р. спочатку необхідно для кожного k -го його інтервалу обчислити накопичену (або кумулятивну) частоту S_k (частку T_k) за формулою (1.5). Після цього знаходять медіанний інтервал, яким буде перший з інтервалів, для яких S_k>п/ 2 (T_k> 1 / 2 ). Тоді медіана і. в. р. обчислюється за формулою:

, (1.6)

де х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу, f_Me (w_Me) – частота (частка) медіанного інтервалу, S_{Me- 1} (T_{Me- 1} ) – накопичена частота (частка) інтервалу перед медіанним.

Медіану з. в. р., д. в. р., або і. в. р. можна вважати статистичним аналогом і точковою оцінкою медіани генеральної сукупності, з якої вибрана статистична сукупність, для якої побудовано відповідно з. в. р., д. в. р. або і. в. р.