Устойчивость и качество систем автоматического управления и мехатронных систем.

Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t)от установившегося состояния.

Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K_(p) / H_(p) = [b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m-1p+b_m] / [a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n],

где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. В полном К_(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.

Важнейшим свойством выражения является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н_(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.

Из выражения передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.

Уравнения разомкнутых систем. Если выражение является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение:

u_(р) * К_(р) = y_(p) * Н_(р),

будет представлять собой операторное уравнение разомкнутой системы (уравнение в изображениях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:

y_(p) * H_(p) = 0.

Переходя в к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:

a₀dⁿx/dtⁿ + a₁ d^n-1x/dt^n-1 +…+ a_n-1 dx/dt +a_n = 0

Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению, будет:

Н_(р) = 0, a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n = 0.

Отсюда следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой линейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н_(р)=0 называется характеристическим оператором системы.

Уравнение замкнутых систем. Пусть является передаточной функцией разомкнутой системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u_(t) = -y_(t) , и принимает вид -К_(р) * y_(р) = Н(р) y_(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе:

[К(р)+Н(р)]y_(р) = 0,

где К_(р), Н_(р) - соответственно числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы; y(р) — изображение координаты системы в точке ее замыкания.

На основании можно записать характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе

К_(р) + Н_(р) = 0.

C учетом того, что W_oc(p) = 1, передаточная функция замкнутой системы:

W_зс(p) = W_(p) / [1 + W(p)],

где W(p)=K(p)/H(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Или:

W_зс(p)=K_(p)/[K_(p)+H_(p)]=K_(p)/H_зс(p).

Показатели качества систем управления АСУ. Требование устойчивости для системы относится к числу необходимых, но не может считаться достаточным. Система может быть устойчивой, но время затухания настолько велико или ошибка в установившемся режиме настолько большая, что практически данная система не может быть использована. Поэтому система должна быть не только устойчивой, но иметь определенный переходный процесс, а ошибки в установившихся режимах не должны превышать допустимых.

Характер переходного процесса линейной системы в отличие от устойчивости зависит не только от параметров системы, но и от вида возмущающего (задающего) воздействия и начальных условий. Чтобы сравнивать системы по характеру переходного процесса, из возможных воздействий выбирают типовые или наиболее неблагоприятные и определяют кривую переходного процесса при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий обычно принимают единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс, линейно нарастающее и синусоидальное воздействие. Для большинства систем наиболее неблагоприятным является воздействие вида единичной ступенчатой функции (t) =1(t). Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы. Для следящих систем обычно рассматривают переходную функцию H(t), вызванную изменением задающего воздействия 1(t), а для систем стабилизации - переходную функцию H_f(t), вызванную изменением возмущающего воздействия f(t).

Точность системы в установившихся режимах оценивается с помощью статических и динамических ошибок. Эти ошибки по аналогии можно назвать показателем качества системы в установившихся режимах. Совокупность показателей качества переходного процесса и установившихся режимов называется показателями качества системы в целом.

1.3.9. Выбор закона управления и расчет настроек автоматического регулятора и мехатронного устройства.

Тип переходного процесса	Тип переходного процесса	Тип переходного процесса	Тип переходного процесса
апериодический	апериодический	апериодический	апериодический
И	И	И	И
П	П	П	П
ПИ	ПИ	ПИ	ПИ
ПИД	ПИД	ПИД	ПИД

Расчет настроек автоматического регулятора и мехатронного устройства выполняется в следующем порядке.

- все запрашиваемые данные для анализа системы с П-регулятором. После этого компьютер рассчитывает значения К_Р ** и ΔY_СТ **, характеризующие состояние системы на границе устойчивости

- выполните расчет переходного процесса при 2-м варианте выбранной настройки регулятора для рабочей точки РТ2.
-исследование работы системы с ПИ-регулятором

- методика остается прежней Исследование начинается с расчета и построения параметрической области устойчивости для системы с ПИ-регулятором. С помощью полученного графика выбираются два варианта настроек регулятора (рабочие точки РТ3 и РТ4), которые будут использованы при анализе работы системы. После этого выполняются два варианта расчетов переходного процесса в системе, и фиксируются все полученные результаты.
Исследование работы системы с ПИД-регулятором

- методика анализа работы системы с ПИД-регулятором аналогична описанной По результатам расчета параметрической области устойчивости выбираются три варианта настроек регулятора (рабочие точки РТ5, РТ6, и РТ7), предназначенные для анализа работы системы.