Классификация математических моделей.

Список вопросов

1. Основные понятия и определения.
(ИТО, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)

2. Классификация математических моделей.

3. ВидыДУ, описывающих процессы в конструкциях РЭА

4. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям ИТО.

5. Внешние и внутренние факторы ИТО.

6. Краевая задача (определение и пример).

7. Задача с начальными условиями (определение и пример).

8. Численные методы решения и их сравнение.

9. Метод конечных разностей

10. Основные положения метода конечных разностей

11. Процедура построения разностной схемы

12. Оценка погрешности дискретной модели непрерывного процесса

13. Постановка задач расчета теплового процесса на дискретной модели

14. Метод конечных элементов

15. Основные положения метода конечных элементов

16. Этапы решения в МКЭ.

17. Типы элементов, используемых в МКЭ.

18. Одномерный симплекс-элемент.

19. Двумерный симплекс-элемент.

20. Трёхмерный симплекс-элемент.

21. Функции формы.

22. Интерполяционные полиномы для дискретизированной области.

23. Матрица трансформации узла.

24. Решение краевых задач методом конечных элементов

25. Метод граничных элементов.

26. Типы граничных элементов.

Наш ответ ему

Основные понятия и определения (ИТО, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)

 

Термин объект обозначает то, с чем взаимодействует человек (субъект) в своей познавательной, предметно-практической деятельности – компьютером, радаром, автомобилем. Термин техника означает совокупность средств человеческой деятельности, создаваемых как для осуществления процессов производства, так и для обслуживания непроизводственных потребностей общества.

Технический объект или техническая система – это любое изделие (элемент, устройство, подсистема, функциональная единица или система), которое можно рассматривать в отдельности.

Техническая система — это определенная совокупность упорядочение связанных между собой элементов, предназначенных для удовлетворения определенных потребностей, для выполнения определенных полезных функций. Как видим, понятие технический объект (ТО) – это более широкое понятие, поскольку технические системы являются лишь их разновидностью.

Термин «технический объект» предпочтительно использовать, когда речь о нем идет вообще, без всякой структурной, функциональной и конструктивной конкретизации, в то время как термин «техническая система» используется при обсуждении его внутреннего содержания, изучении, анализе, синтезе и конструировании.

Модель (ММ) – это условный образ исследуемого технического объекта (ИТО), конструируемый исследователем так, чтобы отобразить его характеристики (свойства, взаимосвязи, параметры), существенные для исследователя.

Модель может быть физическим объектом (ФО) (макет, стенд) или спецификацией – функциональная, поведенческая, структурная и др.

Моделирование – метод исследования процессов или явлений в ИТО на моделях (физических или математических).

Математические модели могут быт геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.

Информационные модели – таблицы и диаграммы вида «сущность-отношение»

Функциональная математическая модель – это алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах параметров элементов X и внешних параметров Q.

Физическая модель – устройство или приспособление, воспроизводящее в том или ином масштабе ИТО при сохранении физического подобия процессов в ФО процессам в ИТО.

Для оценки адекватности результатов исследования на ФМ реальному процессу вводится критерий подобия, содержащий комбинацию значений физических параметров, характеризующих ИТО.

Физическое моделирование – исследование процессов и явлений в ИТО с помощью ФМ при равенстве критерия подобия ФМ и ИТО.

Изоморфность ММ – одинаковое по форме математическое описание для разных по природе физических явлений.

Переменные в ММ – координаты пространства поведения ММ – это величины, подлежащие изменению или определению при решении задач ИТО.

Выходные переменные – величины, характеризующие состояние ИТО и подлежащие определению в процессе моделирования ИТО.

Входные переменные – величины, целенаправленно изменяемые самим исследователем (в соответствии с алгоритмом моделирования) при решении задач ИТО с помощью ММ.

 

Классификация математических моделей.

1. По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на структурные и функциональные модели.

Структурные ММ предназначены для отображения структурных геометрических или топологических свойств объекта.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определённым пространственным позициям или к относительным моментам времени. Могут иметь форму графов, таблиц, матриц, списков и т. п.

В геометрических ММотображаются геометрические свойства ТО, в которых дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов есть сведения о форме деталей, выражаемые либо совокупностью уравнений линий и поверхностей либо алгебрологическими формулами, описывающими области, составляющие тело объекта. Геометрические ММ также могут иметь форму графов и списков, отражающих конструкции из типовых конструктивных элементов.

Аналитические и алгебрологические модели используются для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхностями. Аналитические модели – это уравнения поверхностей и линий. В алгебрологических моделях тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел. В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверхностями вместо них применяют каркасные и кинематические ММ.

Каркасные (сеточные) ММ представляют собой конечные множества точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. Каркас выбирается в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности. Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недостаток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлетворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряжений участков.

Кинематическая математическая модель – набор законов и правил в виде математических формул описывающих движение тел или механизмов.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

2. Принадлежность к иерархическому уровню. Деление описаний объектов на иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии ММ проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Математические модели делятся на модели, относящиеся к микро-, макро- и мета- уровням.

№ п/п	Признак классификации	Виды математических моделей
	Характер отображаемых свойств объекта	Структурные	Топологические
Геометрические	Аналитические
Алгебрологические
Каркасные (сеточные)
Кинематические
Функциональные
	Принадлежность к иерархическому уровню	Модели микроуровня
Модели макроуровня
Модели метауровня
	Степень детализации	Полные модели
Макромодели
	Способ представления свойств объекта	Инвариантные
Функциональные аналитические
Функциональные алгоритмические
Имитационные
Графические
	Способ получения модели	Теоретические
Эмпирические
	По учету неизвестных факторов	Детерминированные	линейные
нелинейные
динамические
Стохастические (вероятностные)
С элементами неопределенности
	По числу критериев эффективности	Однокритериальные
Многокритериальные
	Модели технического проектирования РТУ	Модели физических процессов
Структурные
Статистические
Поведенческие
Логические модели, представленные правилами проектирования

Особенностью математических моделей на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные модели на микроуровне – дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных. В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. Решая ДУ в частных производных, определяют поля механических напряжений, деформаций, давлений, температур и др. Попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не дают результатов из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупнённую дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных ДУ. В этих уравнениях независимой переменной является время, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупнённых элементов дискретизированного пространства. Фазовыми переменными являются силы и скорости механических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы обыкновенных ДУ являются универсальными моделями на макроуровне, однако, если порядок системы приближается к 10³, то работать с моделью становится затруднительным и переходят к представлениям ММ на метауровне.

На метауровне в качестве элементов моделирования принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне так же представляются системами обыкновенных ДУ, в которых фигурируют фазовые переменные, относящиеся только к взаимным связям элементов. Поэтому укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для гораздо более сложных объектов, чем на макроуровне.

Рассмотренные выше структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней, причем на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших уровнях – используются топологические модели.

3. По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные модели и макромодели.

В полной ММ фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех межэлементных связей.

В макромодели отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупнённом выделении элементов. Понятия «полная математическая модель» и «макромодель» относительны и отображают различную степень детальности описания свойств объекта.

4. По способу представления свойств объекта. В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.

Функциональные аналитические ММ – это численные ММ, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных ДУ.

В функционально-алгоритмической форме соотношения в ММ связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются элементарные явления процесса с сохранением его логической и временной структуры.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При построении имитационной модели описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними. Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени.

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

5. По способу получения. Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений. Для их получения используют неформальные и формальные методы. Эмпирические ММ создаются в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внешних входах и выходах обработки результатов измерений и обработки их результатов методами математической статистики.

12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: