 |
Численные методы решения и их сравнение.
|
|
|
|
При вычислении точных аналитических решений задач механики и теплопроводности часто приходится прибегать к решению нелинейных уравнений и использовать численное интегрирование. Для практических задач не всегда удается найти аналитическое решение уравнений, составляющих математическую модель явления. Поэтому приходится применять численные методы.
Численное моделирование основано на применении дискретной ММ исследуемого объекта или процесса. В процессе дискретизации выбираются узловые точки в пространственной и временной областях, составляется и решается система алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в этих узловых точках.
К методам решения уравнений в частных производных относятся метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). С точки зрения точности указанные методы обладают примерно равными возможностями, однако имеют ряд существенных отличий. Методы отличаются способами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. МКР базируется непосредственно на ДУ и граничных условиях, а МКЭ – на эквивалентной вариационной постановке задачи. Иными словами, в МКР выполняется аппроксимация производных искомых функций, а в МКЭ – зависимость искомых функций от пространственных координат и времени. Методы существенно отличаются и в способе построения сеток. В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в около граничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций.
В МКЭ разбиение на элементы производится с учетом геометрических особенностей области, процесс разбиения начинается от границы с целью наилучшей аппроксимации её геометрии. Затем разбивают на элементы внутренние области, причем алгоритм разбиения строится так, чтобы элементы удовлетворяли заданным ограничениям, например стороны треугольников не слишком отличались по длине. Поэтому МКЭ наиболее часто используется для решения задач с произвольной областью определения функций, таких, как расчет на прочность деталей и узлов строительных конструкций, авиационных и космических аппаратов, тепловой расчет двигателей и др.
|
|
|
Применение обоих методов приводит к получению системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых температур в узлах сетки. Обычно данная система имеет высокую размерность (несколько десятков тысяч уравнений в реальных задачах).
9.Метод конечных разностей (в этом вопросе думаю все писать не нужно-только основные моменты)
Основные определения. Функции, которые находят в результате решения уравнений Лапласа, и Пуассона, а также диффузных и волновых уравнений, имеют непрерывный характер, причем их сложно моделировать как аналоговыми, так и цифровыми методами. Основным практическим методом решения таких ДУ является их конечно-разностная аппроксимация [1]. Последняя представляет собой замену системы с распределенными параметрами набором дискретных элементов таким образом, что характеристики первоначально заданного поля остаются неизменными. Процесс дискретизации оказывается возможным при условии, что расстояние между соседними дискретами достаточно мало.
При моделировании поля на ЭВМ использование метода конечно-разностной аппроксимации позволяет заменить ДУ в частных производных, описывающих физическую систему, большим числом связанных между собой алгебраических уравнений. Решение задачи, приведенной к этому виду, требует выполнения только основных математических операций (умножение, сложение и вычитание).
|
|
|
Целью решения сформулированных в предыдущем разделе задач является отыскание некоторой непрерывной функции, характеризующей протекание физического процесса. Поиск решения начинается с представления искомой функции в виде таблицы, которая задает значения функции в некоторых точках области ее определения. Предполагается, что между указанными точками области искомая функция изменяется по известному, например линейному, закону. При построении дискретной модели непрерывной величины 
поступают следующим образом:
- область определения искомой функции делят на конечное число подобластей, называемых дискретами;
- в центре каждой дискреты фиксируются точки – узлы;
- значение в каждом узле считается неизвестной переменной, подлежащей определению;
- в дискретах определяется среднее значение производных первого и второго порядка. (*)
Продемонстрируем метод конечно-разностной аппроксимации на примере определения двумерной функции в заданной области 
. Разобьем область на дискреты ортогональной сеткой с шагом 
и 
по осям 
и 
соответственно. Пусть 
= = 
. Пронумеруем дискреты по осям, начиная от начала координат. Обозначим через 
- значение функции в центре дискреты с номерами 
и 
соответственно по осям OX и OY (рис.3.1).Осуществим предельный переход для разностей типа: 
и 
при измельчении шага сетки . В пределе это отношение стремится к постоянной величине, определяемой тангенсом угла наклона касательной к кривой сечения поверхности, задаваемой функцией F, в точке 
, то есть – к производной F в этой точке:
; 
рис.3.1
Следовательно, обе разности заменяются одной и той же производной. При обратном переходе от производной к разностям производные заменяются так:
® 
; ® 
В первом случае разность называется левой, а во втором – правой. Аналогичный переход выполним для производных по оси OY:
® 
; ® 
Рассмотрим следующие отношения:
и 
При стремлении h® 0 эти отношения стремятся соответственно к значениям: 
и 
в точке и 
. Следовательно, при обратном переходе от вторых производных к разностям можно заменять производные так:
и 
С помощью переходов (7–9) можно производить замену производных в дифференциальных уравнениях, которые превращаются в разностные, а сами разности, заменяющие производные называют конечными разностями.
|
|
|
Метод решения задачи, записанной в виде ДУ, с помощью разностного уравнения называют методом конечных разностей, при котором решение собственно ДУ заменяется решением системы линейных алгебраических уравнений с количеством неизвестных, равных количеству дискрет разбиения области определения функции F.
Рассмотрим уравнение Пуассона вида: + = f(x,y).
Переходя от вторых производных к конечным разностям в точке (mh, nh) области Р, получим разностное уравнение вида:
+ 
= f(x,y).
Формируя это уравнение для всех точек области Р, получим систему алгебраических уравнений с числом неизвестных равным числу дискрет области:
(3.4)
При заданных на границе области Р значениях функции f данное уравнение может иметь единственное решение, которое и определит дискретную модель непрерывной величины F в области Р.
Пример. В текущем примере рассмотрим построение разностной схемы для решения уравнения Пуассона вида:
+ 
(3.5)
в квадрате 
с краевым условием: 
. «Галочками» здесь отмечены координаты точки, принадлежащей периметру квадрата , то есть краевой линии 
.
Решение.
1. Краевое условие позволяет определить функцию 
во всех точках линии S. Действительно, как бы не изменялась функция F внутри области Р, она в точках периметра должна принимать значения, определенные функцией 
, поэтому, подставляя в ДУ (3.5) и проводя дифференцирование, получим вид функции : 
.
2. Будем далее искать решение F уравнения (3.5), положив: 
. Найденная в результате решения функция будет тождественно совпадать с одной из функций F, удовлетворяющих краевому условию. Ограничимся этим, приняв ее в качестве искомого решения, поскольку оно полностью удовлетворяют условиям задачи.
3. Выберем шаг 
, перенумеруем узлы области Р так, как показано на рис.3.2 и в точках периметра последовательно вычислим: 
4. Для значений во внутренних узлах согласно (3.4) составляем систему из 4-х уравнений с четырьмя неизвестными:
|
|
|
5. Обозначим неизвестные: 
и подставим их в полученную систему из 4-х линейных уравнений. Проводя, далее, предварительные вычисления, запишем систему в матричном виде:
Решение системы: 
; 
; 
.
рис.3.2
10.Основные положения метода конечных разностей (тоже что и первая часть 9 вопроса до (*))
11.Процедура построения разностной схемы (вторая часть 9 вопроса после (*))
|
|
|
