Двумерный симплекс-элемент.
Двумерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.3 – это треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, по одному в каждой вершине. Примем последовательную логическую нумерацию узлов элемента против часовой стрелки, начиная от произвольно выбранного i-го узла. Узловые значения скалярной величины j обозначим через Фi, Фj, Фk, а координатные пары трех узлов - через (Xi, Yi), (Xj, Yj), (Xk, Yk).
Интерполяционный полином в данном случае примет вид: j = a1 +a2 x +a3 y (5.7) В узлах выполняются следующие условия: j = Фi при x = Xi и y = Yi j = Фj при x = Xj и y = Yj j = Фk при x = Xk и y = Yk Подстановка их в (9.7) приводят к системе трех уравнений:
Фi = a1 + a2 Xi + a3 Yi Ф j = a1 + a2 Xj + a3 Yj (9.8) Фk = a1 + a2 Xk + a3 Yk Обозначим площадь симплекс – треугольника буквой А. Можно показать, что определитель системы (9.8) связан с А (рис. 5.4) соотношением: [XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] =2A
Решая систему (9.8) с учетом (9.8) и вводя обозначения: Ai=(Xj Yk – Xk Yj); Bi=(Yj – Yk); Ci=(Xk – Xj), Aj = (Xk Yi – Xi Yk), Bj = (Yk – Yi), Cj =(Xi – Xk), (9.9) Ak =(Xi Yj – Xj Yi), Bk = (Yi – Yj), Ck = (Xj – Xi), получим значения искомых коэффициентов: a1 = 0,5 А –1 [ Ai Фi + Aj Фj + Ak Фk ] a2 = 0,5 А –1 [ Bi Фi + Bj Фj + Bk Фk ] a3 = 0,5 А –1 [ Ci Фi + Cj Фj + Ck Фk ] Подставляя значения a1, a2, a3 в (9.7) и преобразуя получаемые выражения к виду, подобному (9.6), получим выражение для скалярной величины j: j = Ni Фi + Nj Фj + Nk Фk (9.10) где:
Значение Ni в i-м узле составит: Ni = 0,5 А –1 [Ai + Bi x + Ci y ] = = 0,5 А –1 [Xj Yk – Xk Yj + (Yj – Yk) Xi + (Xk – Xj) Yi] = = 0,5 А –1 [XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] = 1 Непосредственной проверкой можно показать, что в остальных узлах Ni = 0. Из (9.11) видно, что ФФ линейны по x и y, то есть, градиенты этой величины в направлениях Ox и Oy будут постоянны. Заметим, что:
поэтому градиент j в направлении оси Ох составит:
Поскольку, переменные Вb и величины Фb начальных условий (при b = i, j, k) фиксируются, как только задаются узловые координаты, то частная производная в (9.12) имеет постоянное значение. Отсюда следует важный вывод: постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо применять очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющую функцию j. Пример 9.2. Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке В с координатами (2; 1,5), если заданы начальные значения: Pi = 40 H/см2, Pj = 34 H/см2, Pk = 46 H/см2. Давление р внутри элемента определяется по формуле: р = Ni Рi + Nj Рj + Nk Рk где ФФ Ni, Nj и Nk определяются по (9.11). Подставляя значения координат узлов в обозначения (9.9) для Аb, Вb, Сb (при b = i, j, k), получим значения этих коэффициентов: Ai = (4·5)–(2·1,5) = 19; Aj = (2·0) –(0·5) = 0; Ak =(0·0,5)–(4·0) = 0; Bi = (0,5–5) = – 4,5; Bj = (5 – 0) = 5; Bk =(0 – 0,5) = – 0,5; Ci = (2–4) = – 2; Cj = (0 – 2) = – 2; Ck =(4– 0) = 4;
Вычисляем определитель:
После подстановки констант в ФФ выражение для р примет вид:
Значение давления в точке В с координатами (2; 1,5) равно:
Отметим два полезных свойства треугольного элемента. Во-первых, функция j изменяется линейно между двумя любыми узлами. Так как узлы определяют границы элемента, j меняется линейно вдоль каждой из трех его сторон. Отсюда следует второе полезное свойство: любая линия, вдоль которой j принимает одинаковые значения, есть прямая линия, пересекающая две стороны элемента. Исключением будет случай, когда во всех узлах значения j одинаковые. Приведенные два свойства позволяют легко определять линии уровня скалярной величины. Обратимся к предыдущему примеру, чтобы проиллюстрировать эти свойства.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|