 |
ГЛАВА VII. 1 страница
|
|
|
|
ГЛАВА VII.
ВВЕДЕНИЕ В АРИФМЕТИКУ.
Что такое арифметика?
Сегодня употреблять слово " арифметика" в применении к начальному математическому образованию как-то не модно. На учебниках первого или второго класса пишется важное слово " математика" а про старое, доброе слово " арифметика" стараются не вспоминать, считая его сегодня чуть ли не неприличным. При этом мало кто из педагогов, работающих как в начальном, так и в среднем звене, сумеет внятно ответить на вопрос, чем же провинилось слово " арифметика". Тем более, что ПО СУТИ в сегодняшнего преподавании начальной математики мало что изменилось по сравнению с тем, как обстояли дела лет тридцать назад, когда слово " арифметика" еще не считалось зазорным.
Вообще за тем своеобразным табу, которое наложено в сознании современного учителя на слово " арифметика", скрывается известное недоразумение.
Исходно девальвация слова " арифметика" в применении к начальному школьному образованию была связана с попытками изменить цели начального математического обучения.
Дело в том, что на протяжении веков смысл начального математического образования достаточно четко сводился к формированию у учащихся прочных счетных навыков. И в этом смысле употребление слова " арифметика" было абсолютно уместным, учитывая, что именно арифметикой исторически называлась (в античности и в средние века) наука о взаимоотношении чисел, а само слово " арифметика" происходит от греческого " арифмос", " число".
Впрочем, и сегодня любому образованному математику (или просто образованному человеку) хорошо известно, что арифметика - это всего-навсего раздел математики, который " изучает простейшие свойства чисел, в первую очередь натуральных (целых положительных) и дробных, и действия над ними". Другое дело, что самостоятельное развитие арифметики как науки закончилось в Новое время, когда произошло формирование совершенно новых математических дисциплин - алгебры и теории чисел.
|
|
|
Появление слова " математика" на обложках школьных учебников для начальной школы было, по идее, связано с попытками обогатить содержание начального математического обучения элементами геометрии и алгебры - элементами дисциплин, которые заведомо выходят за границы собственно арифметического пространства.
Но можно ли, однако, всерьез утверждать, что использование буквенного обозначения " X" в банальных арифметических ситуациях или введение информации о том, что называется в геометрии отрезком, углом или геометрической фигурой, на самом деле можно рассматривать как введение " алгебраического и геометрического материала"? Ведь геометрия как самостоятельная дисциплина начинается вовсе не с информации о том, чем отличается треугольник от квадрата, а с проблемы геометрического доказательства, а алгебра - с проблемы алгебраического преобразования.
И то и другое предполагает высокий уровень сформированности абстрактного мышления, и потому реальная алгебра и реальная геометрия по-прежнему появляются только в седьмом классе, а ни в каком не в первом. И учебники математики для начальной школы как были, так и остаются по своей сути АРИФМЕТИЧЕСКИМИ учебниками. Но почему-то стыдливо скрывающими эту свою арифметическую суть.
Итак, следует честно признать, что математическое образование в начальной школе как являлось, так и является арифметическим.
Другое дело, что глубоко порочна интерпретация арифметики как простой совокупности счетных навыков - интерпретация, на которой строилось преподавание арифметики в новоевропейской школе на протяжении столетий.
|
|
|
Новая арифметика.
История арифметики - и, в частности, история возникновения и развития арифметики в Древней Греции - свидетельствует о том, что эта дисциплина - в отличие от геометрии - всегда рассматривалась как менее практичная и более философичная дисциплина.
Более того, многими философами, начиная с Пифагора, арифметика рассматривалась как… тождественная философии.
Впрочем, что касается дальнейшего развития арифметики как науки о межчисловых взаимодействиях, то оно тоже шло рука об руку с философией, что и привело в конце концов к выделению из арифметики алгебры и теории чисел в Новое время.
Собственно пропедевтическя задача построения начального математического образования и должна решаться, на наш взгляд, в этом историческом контексте.
Мы должны помнить, что возникновение алгебры и теории чисел явилось результатом развития определенной философии арифметики, а вовсе не результатом улучшения счетных навыков. И если мы хотим решить задачу создания стройной и преемственной школьной математики, если мы хотим, чтобы начальная школьная математика являлась действительной подготовкой и введением в мир алгебраических построений, мы должны подойти к этому вопросу предельно исторично. И не мифические “элементы алгебры” или “элементы геометрии” вводить в программы начального математического образования (что на деле является профанацией алгебраического содержания), а предложить детям арифметику, но совершенно особого рода: арифметику, настраивающую детский ум на философские размышления.
Другими словами, мы должны дать детям арифметику более близкую по своему духу той, из которой исторически только и смогли возникнуть алгебра и теория чисел.
Понятно, что школьная арифметика Нового времени (от которой мы ведем отсчет всех современных математических учебников) менее всего была ориентирована на проблемы философии числа. Ее задача была совсем в другом - дать ученикам совокупность бытовых счетных навыков.
Однако если мы всерьез размышляем о проблеме введения детей в мир математики (а не мир счетных навыков) и о проблеме преемственности между арифметикой и алгеброй, мы должны решительно отказаться от традиции ориентированных на бытовой навык счета арифметических учебников. Мы должны попытаться создать новую арифметику, более адекватную тем ее историческим формам, из которых происходило рождение математики Нового времени. Иначе говоря, это должна быть арифметика как философия.
|
|
|
Но естественно, что эта новая - пронизанная философией - арифметика должна быть интересной и увлекательной для семилеток, и ни в коем случае не быть скучной философской тягомотиной, состоящей из умных и малопонятных рассуждений.
Речь идет об арифметике, философское содержание которой высвечивалось бы самой структурой решаемых задач.
Речь идет о задачах, которые постоянно выводили бы сознание семилетнего ребенка на точки философского удивления.
И как раз клеточное моделирование, похоже, помогает эффективно решить задачу построения арифметики такого рода.
Интуиция числа.
Вернемся к группе задач предыдущей главы.
Уже в результате описанной выше работы на идентификацию, обсчет, переформатирование и символическое описание фигурок различной конфигурации у детей формируются начальные представления о количественном соотношении различных чисел. Модельная графика, в основу которой положена тетрадная клеточка, позволяет, если можно так выразиться, " ощупать взглядом" соотношение различных величин. У ребенка формируется модельное представление о самых различных числах натурального ряда и физически рельефный образ того, как велико, допустим, число пятьдесят по сравнению с числом четыре.
Тем самым числительные имена, которые до сих пор носили для ребенка весьма абстрактный характер, обретают модельную плоть, и это позволяет ребенку в самом первом приближении почувствовать идею соотношения величин. Тем более это позволяет сделать работа с элементарными числовыми последовательностями. Ребенок еще не владеет элементарными арифметическими операциями, но у него появляется " вкус числа" и способность видеть элементарные числовые соотношения.
|
|
|
Причем, что важно, это, если можно так выразиться, ЛИЧНЫЙ, глубоко индивидуальный вкус числа. Ребенок вырабатывает как бы индивидуальный опыт переживания числа, снова и снова " навскидку" пытаясь определить, из скольких клеточек состоит очередная фигурка. И в нем вырабатывается интуитивный, доарифметический (! ) опыт сравнения величин - еще до знакомства с арифметическими операциями, позволяющими осуществлять точное сравнение.
В результате на каждое число ребенок как бы ставит предварительную (тайную) метку своего личного опыта. И потому, когда наступает время собственно арифметики, и ребенок начинает понемногу осваивать арифметический инструментарий, позволяющий устанавливать точные взаимоотношения между числами и исследовать мир числовой гармонии с высокой степенью надежности, он имеет дело уже с миром необезличенных чисел. Каждое число (во всяком случае, в пределах первой сотни) обладает для него " лица необщим выраженьем", тянет за собой шлейф личных ассоциаций.
И самое главное - у ребенка уже сформировано ощущение сравнимости чисел. Оно еще ни в коем случае не обладает арифметической точностью, но самое главное заключается в том, что оно есть.
Ребенок, накопивший обширный опыт угадывания и воспроизведения различных модельных чисел, - это ребенок, для которого сравнение величин не является пустым звуком. Не обладая еще арифметическим инструментарием сравнения, он безусловно обладает развитой интуицией сравнения.
Так, строя числовую последовательность 1, 3, 5, 7... (естественно, числовую последовательность из фигурок), ребенок фактически осуществляет прибавление двух клеточек на каждом новом шаге, хотя и не использует при этом термин " сложение" и не пользуется пока соответствующими математическими символами. А угадывая количество клеточек в какой-то новой фигурке, ребенок фактически осуществляет операцию количественного сравнения этой фигурки с теми, которые были им обсчитаны раньше.
Арифметика до арифметики.
Дело ведь не в том, чтобы научиться пользоваться какими-то значками - как раз пользоваться значками проще всего! - а в том, чтобы уловить математическую суть тех или иных операций. И как раз этого позволяет в максимальной мере добиться описанная выше работа с фигурками из клеточек.
Это работа, которая, если угодно, закладывает фундамент первичной математической интуиции. Мир чисел предстает ребенку как мир зримых количественных соотношений; но при том никто не учит ребенка соотносить числа. Просто-напросто модели чисел, явленные детскому взгляду, несут в своем основании некую универсальную мерку - тетрадную клеточку, и в результате, идентифицируя различные фигурки, взгляд ребенка привыкает видеть числа в их взаимном соотношении.
|
|
|
Таким образом, число является ребенку не как понятийная, а как эмпирически богатая реальность. Ребенок не рассуждает о числе, но у него появляется первичное (неотрефлексированное пока) ощущение числа, ощущение числа как некоей загадки, как некоей тайны. И в сущности своей это глубоко античное отношение к числу.
Но одновременно в ребенке закладывается и эмпирический фундамент вычислительной деятельности. Ребенок еще не имеет навыка арифметических вычислений, но в нем формируются соотносительные образы чисел, и потому, когда учитель начинает заниматься с детьми формированием собственно вычислительного навыка, этот навык ложится на богатую образную подкладку.
Обычный школьник, складывая или вычитая два каких-то более или менее больших числа не имеет в своем сознании модельного образа этих чисел и потому плохо представляет себе (или не представляет вовсе) их соотношение друг с другом. Ребенок, прошедший школу " клеточного моделирования", имеет достаточно отчетливый образ того, сколь соотносительно велики эти числа. И это приводит к тому, что арифметическая работа оказывается для этого ребенка с самого начала небессмысленной.
Арифметика как философия.
Пока дети просто обсчитывают те или иные предъявляемые им фигурки пошаговым образом и записывают результаты своего обсчета с помощью цифровой символики, это не является пока еще собственно математическим (арифметическим) пространством, но, в лучшем случае, является преддверием арифметики. Смысл этой работы - в формировании у детей первоначальной интуиции числа, интуиции количественных соотношений, но не сознательно построенная работа на поиск количественных соотношений между различными числами. И даже строя элементарные числовые последовательности, дети вначале опираются, скорее, на интуицию, нежели на рациональный анализ.
Однако чем дальше, тем больше интуиция дополняется рациональным анализом, и задача учителя - вовремя дать инструменты такого рода рационального анализа феномена количественных соотношений.
А важнейшим инструментом, с помощью которого можно анализировать различные количественные соотношения, являются так называемые " арифметические действия" - сложение, вычитание, умножение и деление.
Во всяком случае, это те базовые действия, с помощью которых определяются все основные законы взаимоотношений между числами. В этом и состоит их глубинный математический смысл: это те операции, те средства, с помощью которых становятся прозрачны соотношения чисел и устанавливаются базовые закономерности этих соотношений.
Увы, следует признать, что глубинный смысл арифметических операций обычно остается за бортом начального школьного образования (а, значит, и школьного образования как такового). Арифметика преподается детям как чистая технология, как навык быстрых и точных вычислений; при этом элиминируется самое интересное, что есть в математике (и что могло бы быть безумно интересно детям) - это философия арифметики, философия числа, т. е. те глубинные смыслы, которые открываются в межчисловых взаимодействиях.
А ведь даже элементарные межчисловые взаимодействия пронизаны парадоксами, вглядываясь в которые поневоле становишься философом. И потому освоение принципов арифметического взаимодействия как чисто технологических навыков быстрого счета является по своей сути абсурдным. При этом теряется, может быть, самое главное, что есть в арифметике - ее философский смысл.
Но самое поразительное заключается в том, что взгляд семилетнего ребенка удивительно открыт арифметическим парадоксам. Семилетний ребенок готов и жаждет быть философом числа, он готов удивляться неожиданностям межчисловых взаимодействий; однако существующая традиция преподавания математики в начальной школе начисто исключает такую возможность.
Те арифметические задачи и упражнения, которые предлагаются учащимся первых, вторых или третьих классов, совершенно не пытаются выводить сознание ребенка на удивительные парадоксы числа, и совершенно не предназначены к тому, чтобы провоцировать в ребенке позицию удивления.
Если мы хотим, чтобы математика (в ее арифметической ипостаси) была невероятно интересна для наших первоклассников, мы должны отказаться от бытовой, прагматической ее интерпретации как системы счетных навыков.
Мы обязаны научиться преподавать всю начальную математику как философию арифметики, как философию числовых парадоксов и закономерностей. А это требует кардинального пересмотра всего нынешнего содержания математического преподавания, пересмотра самих принципов подачи математического материала, наконец, радикального пересмотра всего корпуса практикуемых в начальной школе математических задач и упражнений.
Разумеется, когда я говорю о " философии арифметики", я менее всего призываю к каким-то " философским беседам", встроенным в традиционное математическое преподавание или красиво дополняющим это преподавание. Увы, всякого рода философские беседы и рассуждения относительно сущности числа мало что дадут сами по себе.
Вопрос заключается в другом, в том, чтобы так давать собственно математическое содержание, чтобы у ребенка постоянно возникало ощущение парадокса, ощущение удивления перед миром чисел. Сами задачи, сами вычислительные упражнения должны быть построены таким образом, чтобы провоцировать в маленьком ребенке желание удивляться, желание задавать вопросы и желание думать.
Настоящая книга - это и есть описание того, как возможна альтернативная математика для начальной школы: математика, построенная как комплекс задач, вводящих маленького ребенка в мир арифметической философии,.
Сложение - это сложно.
Начнем с простейшей (как это принято считать) арифметической процедуры - процедуры сложения.
На первый взгляд, эта процедура настолько проста, что просто невозможно говорить о какой бы то ни было " философии сложения". И учебники по математике для начальной школы всецело разделяют эту позицию.
Сколько будет два плюс три? Пять. Сколько будет три плюс шесть? Девять. А если и есть сложности, то сложности чисто технические, а не философские - скажем, связанные с техникой вычислений при переходе через десяток и т. п. Какая уж тут философия!
Но так ли все просто?
Конечно, если все сводить к проблеме бытового навыка счета, сложностей на самом деле нет никаких. Но стоит чуть-чуть приглядеться, и станет ясно, что сложение - это весьма таинственная процедура, особым образом организующая взаимоотношения в мире чисел.
Так, одна из глубочайших математических тайн заключается в том, что любое число (как бы ни было оно мало) может быть представлено как бесконечное число вариантов сложения других чисел. Любое число может быть представлено как сумма других чисел - положительных и отрицательных, целых и дробных и т. п. Причем количество слагаемых у любого числа может быть практически бесконечным. А это значит, что любое число - даже если это элементарное число из натурального ряда - являясь, с одной стороны, самим собой, вместе с тем оказывается бесконечно неисчерпаемым. И сложение есть первый ключ к феномену неисчерпаемости числа.
Однако то представление о сложении, которое предлагает первоклассникам их учебник, имеет весьма незначительное отношение к этому фундаментальному математическому парадоксу. Не удивительно, что сложение в представлении детей, которые учатся по стандартным учебникам - это достаточно простая операция, лишенная каких бы то ни было парадоксов. А если и есть проблемы, связанные со сложением - так это проблемы чисто вычислительного характера.
Практика " прибавления".
Принятая в массовой школе трактовка сложения ориентирована на практику счета в обыденной жизни: мол, сложение - это операция, с помощью которой можно что-то сложить с чем-то. И не удивительно, что в начальной школе дети активно пользуются словом " прибавить".
Есть какое-то количество чего-то, к этому добавляется еще какое-то количество того же самого, и тогда можно установить, какое количество этого " чего-то" образовалось в результате.
Не случайно, что все учебники пользуются в трактовке феномена сложения термином " слагаемое": слагаемые - это те числа, которые складываются друг с другом, образуя сумму.
Конечно, в такой трактовке феномена сложения есть своя ценность. Однако вот беда: громадное количество детей в начальной школе усваивают, что сложение - это процесс, в результате которого происходит.... увеличение количества; а процесс вычитания, который им предлагают как " обратный сложению", ассоциируется для них с процессом уменьшения количества.
И это настолько прочная ассоциация, что от нее никак не могут избавиться даже дети, уже формально изучившие феномен действительного числа, т. е. познакомившиеся с областью отрицательных чисел.
С первого дня пребывания в школе дети учатся тому, что складывать - значит " прибавлять", а прибавлять - значит увеличивать, и это закрепляется настолько прочно, что появление в пятом классе феномена отрицательных чисел воспринимается многими детьми как откровенный бред; для многих детей именно в этой точке начинается полный и окончательный разлад с математикой.
Заложники вектора.
Другой бедой принятой в начальной школе трактовки сложения является ее, так сказать, векторный характер.
Миллионы детей, осваивающие операцию сложения в начальной школе, интерпретируют ее как операцию, у которой... будто бы есть " направление". Мол, сложение - это операция, в результате которой различные числа (так называемые " слагаемые" ) " складываются" вместе и образуют так называемую " сумму". И, таким образом, дети усваивают сложение как принципиально векторную процедуру, в которой осуществляется строго направленное движение ОТ первоначально разрозненных чисел К их сумме.
Эту подчеркнутую векторность сложения взгляд ребенка видит и в символической записи. Если, к примеру, попросить любого ученика начальной школы ответить на вопрос: ЧТО он видит в записи 2 + 3 = 5, можно почти со стопроцентной уверенностью прогнозировать его ответ: он видит то, что сложили два и три, а в результате получилось пять.
Иначе говоря, ребенок не видит эту запись как утверждение равенства двух сторон, а видит процесс превращения того, что находится слева, в то, что находится справа. А это и значит, что он воспринимает эту запись как векторную, направленную строго слева направо.
Мол, из сложения того, что находится слева (двух и трех) получается то, что находится справа (пять).
Нельзя не заметить, кстати, что сами учебники математики для начальной школы настойчиво вводят операцию сложения именно как векторную операцию, подкрепляя это соответствующими рисунками, особенно на начальных своих страницах. Суть этих рисунков всегда одна: к группе из нескольких предметов добавляется еще несколько аналогичных предметов, и это записывается как операция сложения.
И дети добросовестно комментируют эти картинки: " Лежало три тетради. К ним добавилось еще две тетради. Всего стало пять тетрадей. "
Стоит ли удивляться, что, когда на страницах того же учебника ребенок сталкивается с записью типа 5=2+3, это вызывает у него вначале чувство некоторого недоумения. Ребенок не может понять, как ему интерпретировать эту запись на языке уже сложившегося у него векторного понимания сложения.
Правда, он в конце концов он выходит из затруднительного положения весьма примечательным образом. Он ни в коем случае не отказывается от " векторного" языка, но просто меняет направление вектора справа налево, и читает эту запись как... тождественную предыдущей.
Иначе говоря, направленность действия в записи 5=2+3 для него по-прежнему идет от слагаемых к сумме, а не наоборот.
И если спросить первоклассника, как он понимает запись 5=2+3, то он в громадном большинстве случаев ответит примерно так: " Ну как же! Ведь если мы к двум прибавим три, получится семь! "
А это значит, что он по-прежнему видит ВЕКТОРНУЮ формулу 2+3=5, в которой просто-напросто стороны равенства поменялись местами. И если попросить этого ребенка составить под запись 5=2+3 задачу, он наверняка сочинит задачу с подчеркнуто векторным содержанием: мол, лежало на столе два карандаша, к ним добавилось три - сколько теперь на столе лежит карандашей?
Иначе говоря, такой ребенок не усматривает математической и логической разницы между записями 2+3=5 и 5=2+3. Но не в том смысле, что там и там – равенства, а в том, что и там, и там – из двух слагаемых получается сумма.
Но в том-то все и дело, что это не совсем тождественные в логическом и математическом отношении формулы. Если первая формула сообщает о том, что сумма каких-то частей образует некую целостность, то вторая сообщает о том, что некая целостность может быть представлена как сумма соответствующих частей.
Соответственно первая формула - это действительно формула, описывающая ситуацию типа той, когда к двум карандашам добавляется три, и в результате получается пять. Однако вторая формула описывает совсем иную ситуацию, а именно: на столе лежит пять карандашей, из них два заточенных, а три не заточенных…
Иначе говоря, целостность числа " пять" в записи 5=2+3 задана вовсе не как результат, к которому требуется прийти, осуществив сложение так называемых " слагаемых", а как исходная данность, которая может быть представлена или проинтерпретирована как сумма частей.
Новый инструментарий.
Итак, трактовка сложения, принятая в современной начальной школе, носит весьма поверхностный характер, не улавливая глубинного смысла этой процедуры.
Но может быть иначе и нельзя? Может быть сознание семилетнего ребенка не способно к восприятию более глубокого смысла сложения (и, соответственно, более глубокого смысла числа как такового)? Может быть нет ничего страшного в том, что ребенок на первых порах осваивает сложение как векторную процедуру " прибавления" или увеличения, а уже в среднем школьном звене выходит на его более сложную трактовку?
К сожалению, факт заключается в том, что начальная школа настолько жестко вбивает в ребенка свой стереотип восприятия сложения как векторного " прибавления", что для многих детей этот стереотип становится непреодолимым барьером при переходе в среднее звено.
Но самое любопытное - это то, что как раз сознание семилетнего ребенка открыто арифметическим парадоксам, и семилетний ребенок готов с большим удовольствием рассуждать о парадоксах и тайнах числа (и, в частности, о парадоксах и тайнах сложения) - но, разумеется, если у учителя есть средства введения сознания ребенка в этот мир арифметических тайн.
Понятно, что у обыкновенного учителя таких средств нет: комплекс школьных математических задач совершенно не ориентирован на решение задач столь глобального, философского масштаба. Зато " клеточная математика" как раз дает в руки учителя тот необходимый инструментарий, который выводит ребенка не просто на технику вычислений, но на глубинные размышления о числе и его сущности.
И, в частности, эта клеточная математика позволяет совершенно по-новому ввести саму идею сложения - так, что уже у учащихся первого класса происходит выход на глубинные математические парадоксы.
ШАГ 1. Что значит складывать?
" Дети! Кто из вас умет складывать? " - задает учитель явно провокационный вопрос.
Провокационный, потому что наверняка дети откликнутся на него дружным " Я! Я! Я! ", и тут же начнут приводить примеры того, как они умеют складывать. Ведь их учили элементарному сложению и в садике, и дома (готовя к школе). И они уже готовы приводить примеры того, что они знают относительно сложения. Что два сложенное с тремя будет равняться пяти. Что четыре сложенное с пятью даст в сумме девять и т. д. И кто-то уже начинает выпаливать свои " знания"...
Но учитель тормозит бурную детскую активность: " Стоп, стоп, стоп! Я ведь не сказал пока, ЧТО складывать. А я, между прочим, хотел вас спросить: кто из вас умеет складывать... книжки и тетради в свой портфель? Или головоломку " Паззл"? Или тетрадки в стопку? "
Первая дразнилка для детского сознания. Оказывается, мы очень часто в своей жизни что-то складываем, даже не вспоминая при этом ни про какую математику. И все дети прекрасно представляют себе смысл слова " складывать".
" Так кто же попытается мне ответить на вопрос: а что вообще означает слово " складывать"?
Конечно, слово " складывать" многозначно. И, вместе с тем, у этого слова есть некоторое целостное семантическое поле, которое позволяет его употреблять и в различных жизненных ситуациях, и, вместе с тем, для описания феномена математического сложения.
И важно, чтобы дети уловили эту семантическую целостность. И прежде чем начать бездумно и автоматически пользоваться словом " сложение" в арифметическом смысле, они должны вчувствоваться в смсловой контекст этого слова.
Что значит складывать? Конечно же, складывать - это значит соединять друг с другом. Соединять вместе. Присоединять друг к другу.
И одновременно - приводить в порядок, упорядочивать, чтобы было складно и ладно (это когда мы, к примеру, складываем разбросанные игрушки или вещи).
А еще складывать - это создавать какую-то целостность (складывать слово из слогов, складывать башню из кубиков, складывать рисунок из мозаики или картинку " Паззл" и т. д. ).
Вызывая детей на диалог по поводу слова " складывать", учитель активизирует их семантическое воображение и заставляет рассмотреть хорошо знакомое слово с разных сторон, увидеть его, если угодно, вглубь.
ШАГ 2. А складывать числа?
И лишь после того, как это сделано, совершается следующий шаг: учитель спрашивает детей о том, а что же мы все-таки складываем, когда складываем числа, и что у нас получается в результате этого сложения.
|
|
|
