 |
ГЛАВА VII. 2 страница
|
|
|
|
" Вот вы говорите, что если к трем прибавить пять, то получится восемь. А позвольте спросить: к трем - чего? Пять - чего? И восемь - чего? "
Вначале дети, естественно, начнут приводить всякие примеры. " Ну как, вот если я к трем карандашам прибавлю пять, у меня получится восемь карандашей! "
А учитель снова хитрит: " Так значит, когда ты говоришь, что если к трем прибавить пять, то получится восемь, - ты имеешь в виду карандаши? А если это будут конфеты - то что, уже так не получится? "
" Конечно получится! И с конфетами получится, и тетрадками! "
" А есть что-нибудь такое, с чем не получится? Кто-нибудь сможет придумать то, с чем не получится такое сложение - чтобы к трем прибавить пять, и чтобы не получилось восемь? "
О, с каким энтузиазмом начинают дети обсуждать этот вопрос! И при том выдвигают весьма хитрые идеи. Например: " Вот, если я к трем карандашам прибавлю пять тетрадей, то у меня не получится восемь карандашаей! "
" Да, но в таком случае восемь ЧЕГО у тебя окажется в результате? " " Наверное, восемь предметов... " " Но значит, правило сохранилось, просто пришлось изменить имя? Мы нашли общее имя для тетрадей и карандашей, и снова сложение у нас получилось... "
И снова учитель возвращается к исходному вопросу: " Ну, так все же, когда мы говорим, что прибавляя к трем пять, мы получаем в итоге восемь, что мы имеем в виду? Тетради? Карандаши? "
" Любые предметы! " - закричит кто-нибудь из детей.
" А что, к людям это уже не относится? - продолжает плести свою коварную сеть учитель. - Если мы к трем мальчикам прибавим еще пятерых, у нас что, получится десять мальчиков? А если мы к трем умным мыслям прибавим пять умных мыслей, у нас что - не получится восемь умных мыслей?.. "
|
|
|
И учитель продолжает свое настойчивое вопрошание до тех пор, пока кого-то из детей не озарит великое открытие: оказывается, когда мы складываем три и пять и получаем в результате восемь, мы имеем в виду ВСЕ, ЧТО УГОДНО! Оказывается ВСЕ, ЧТО УГОДНО числом три можно сложить с тем же самым, но числом пять, и мы в результате получим это нечто, но уже числом восемь.
И в этом, оказывается, заключается глубинная суть математики: она работает с ЧИСЛАМИ ВООБЩЕ. И, в частности, числа, которые мы складываем на уроках математики - ЭТО ЧИСЛА ЧЕГО УГОДНО. И когда мы говорим, что три плюс восемь равняется восьми, мы тем самым произносим волшебную формулу, под которую подпадает все, что есть, и даже (вот чудо-то! ) все, чего нет в мире. Это относится и к динозаврам, которые вымерли многие миллионы лет назад, это относится и к любой нашей фантазии, это относится КО ВСЕМУ. И это самое настоящее, потрясающее воображение чудо.
И если учителю удалось заставить детей удивиться этому чуду - он тем самым вместе с детьми сделал очень важный шаг в глубины математики.
ШАГ 3. Моделируем сложение.
Итак, математическое сложение - это сложение чисел вообще. Это сложение числовых абстракций. Это сложение количеств как таковых - количеств, оторванных от своих предметных носителей.
Однако это вовсе не значит, что математическое сложение нельзя промоделировать. Более того, мы просто обязаны его промоделировать, потому что только в этом случае закономерности сложения смогут предстать перед глазами ребенка как ЗРИМЫЕ закономерности.
Как промоделировать операцию сложения с помощью тетрадных клеточек?
Снова вернемся к тому, чем является сложение в бытовом смысле этого слова.
Если попросить ребенка сложить вместе ручки, книги или тетради, он без труда это сделает, причем сумеет сам предложить много вариантов сложения.
|
|
|
И арифметическое сложение точно также может быть представлено как соединение вместе каких-то количеств чего-то (количеств, имеющих общий смысловой знаменатель! ) и превращение этих количеств в некую целостность.
Понятно, что смоделироать эту процедуру графическим образом на тетрадном листе достаточно просто.
Если фигурка из клеточек - это модель числа, то любые состыкованные вплотную друг с другом фигурки можно интерпретировать как фигурки сложенные, т. е. образующие некую совокупную сложность, совокупную целостность.
И наоборот: изъятие некоего фрагмента целостной фигурки (осуществляемое либо с помощью штриховки особого цвета, либо с помощью обыкновенного ластика) естественно интерпретировать как операцию вычитания (либо, точнее, как операцию сложения с отрицательными числами).
Впрочем, задача педагога заключается вовсе не в том, чтобы втолковать все это ребенку, а в том, чтобы квалифицированно развернуть серию задач, в рамках которых у ребенка было бы достаточно возможностей позаниматься графическим моделированием процедуры сложения и одновременно - символической интерпретацией той или иной графики.
И вот учитель просит детей нарисовать у себя в тетрадях фигурку, которая моделирует, например, число три и фигурку, которая моделирует число пять. Разумеется, фигурки должны быть, как обычно, подписаны.
А затем просит сложить эти фигурки и сделать соответствующую подпись. При этом учитель не пытается объяснить, как это можно сделать - сложить клеточные фигурки. Он предлагает детям самим догадаться и предложить свои варианты графического сложения, отталкиваясь от здравого смысла.
Поскольку вопрос о том, что такое сложение, достаточно разнообразно обсужден, у детей, скорее всего, не возникнет проблем с пониманием данного задания. Ведь в сущности говоря все, что требуется, это состыковать две исходные фигурки в некую новую целостность, и подписать новую фигурку стандартной математической фразой: 3+5=8. При этом важно, чтобы в новой фигурке были отчетливо видны составляющие ее части: фигурки из трех и пяти клеточек соединяются вместе, но при этом сохраняют свое своеобразие, и в результате получается, что новообразованная фигурка отчетливо несет в себе обе исходные фигурки.
|
|
|
Рисунок 1
На рисунке изображены вначале две фигурки из трех и пяти клеточек, которые требуется сложить, а затем фигурка из восьми клеточек, которая одновременно является суммой исходных фигурок. Под этой заключительной фигуркой можно написать: 3+5=8.
И вот здесь есть очень важный момент. Дети должны отчетливо увидеть, что запись 3+5 - с одной стороны, и запись 8 - с другой в равной степени являются описаниями новообразованной фигурки. И запись 3+5=8 должна поэтому целиком находиться под новообразованной фигуркой. Именно эта новообразованная фигурка удерживает и модельно демонстрирует тождественность левой и правой части этого равенства.
А что касается первоначально нарисованных фигурок из трех и пяти клеточек, то как раз их подписывать выражением 3+5 некорректно, потому что они нарисованы по отдельности, а, следовательно, покуда они не вошли в состав новообразованной фигурки (в качестве ее составляющих частей), их нельзя считать сложенными.
Сложение по-алгебраически.
Между прочим, это один из характернейших " подводных камешков" математики, о которые спотыкается сознание младшеклассников, находящееся под чутким контролем современной математической дидактики.
Дети, уже прошедшие некоторый курс обучения в первом и втором классах, никак не могут взять в толк, почему запись 3+5 описывает вовсе не разрозненные фигурки из трех и пяти клеточек (которые пока еще только требуется сложить), а исключительно ту фигурку, в которой акт сложения уже состоялся.
Привыкшие к " теории слагаемых" (теории, которой их настойчиво потчевали начиная с первого дня пребывания в школе), согласно которой вначале есть слагаемые, и только потом (в результате магического слова " получится" ) есть их сумма, они никак не желают понять, что запись 3+5 является описанием уже сложенной фигурки из восьми клеточек, т. е. уже свершившимся актом сложения, а вовсе не его предположением.
|
|
|
А это значит, что они совершенно не понимают сути сложения и сути того символического значка " +", который используется в математике для обозначения этой ключевой арифметической операции.
Снова и снова приходится сталкиваться со следующей ситуацией, которую дети “тащат” из традиционной школы.
Вот дети смоделировали число три с помощью фигурки из трех клеточек (и подписали эту фигурку цифрой три). А рядом, отступив несколько клеточек, нарисовали пятиклеточную фигурку - модель числа пять (и снова подписали эту фигурку - цифрой пять). А потом, чуть дальше - нарисовали графическую сумму этих фигурок.
А дальше они просто расставляют между нарисованными ими фигурками и цифрами известные им знаки сложения и равенства. (См.: Рис. 2)
Рисунок 2.
Типичный пример того, как видит сложение учащийся традиционной школы.
Спрашиваешь автора такого чертежа: " Скажи, почему ты поставил между вот этими двумя разрозненными фигурками знак сложения? РАЗВЕ ОНИ УЖЕ СЛОЖЕНЫ? Зачем ты обманываешь себя и меня: ведь они пока у тебя по-прежнему находятся по отдельности друг от друга, а ты почему-то ставишь между ними знак сложенности?! Ведь ты сам только что говорил, что сложить - значит соединить вместе... ”
А ребенок смотрит абсолютно непонимающе. Ведь его именно так научили. Научили тому, что слагаемые существуют… ДО суммы, а вовсе не внутри суммы. Научили тому, что вначале есть слагаемые, и лишь потом есть сумма.
И потому в его представлении запись 3+5 вовсе не означает, что фигурки уже сложены, а означает, что они только еще должны быть сложены.
Другими словами, ребенок принципиально не воспринимает запись 3+5 как запись суммы. Для него записью суммы является только то, что находится по ту сторону равенства!
Но ведь это полнейший абсурд! Потому что слагаемые существуют только внутри суммы, а до и вне суммы никаких слагаемых нет. А числа, которые не являются частями суммы, нельзя называть слагаемыми!
В том-то и заключается суть записи 3+5=8, что в ней утверждается принципиальное тождество объекта, скрывающегося за противоположными сторонами равенства. В ней утверждается, что по разные стороны равенства находятся два способа описания одного и того же объекта. И слева, и справа находится одно и то же число - число восемь, но в одном случае это число представлено как целостное число, а в другом - как сумма двух частей.
Но это уже, если угодно, алгебраическая арифметика.
И именно это, алгебраическое понимание арифметики позволяет отчетливо увидеть и сформировать у младшеклассников наша работа с клеточными фигурками.
|
|
|
ШАГ 4. Сложность целого.
Вообще говоря, существуют два принципиальных способа предъявления детям операции сложения с помощью клеточных фигурок.
Первый - это уже описанный способ, когда требуется сложить две разрозненные фигурки, и когда к одной из них (допустим, состоящей из трех клеточек) пририсовывается другая (допустим, состоящая из пяти клеточек) - так, что эти две фигурки образуют в результате некоторую целостность.
На первый взгляд, эта модель сложения идентична тому представлению о сложении, которое формируется в современной начальной школе, и суть которого заключается в том, что сумма - это результат присоединения чего-то к чему-то.
Однако уже в момент символического описания этой процедуры сложения у ребенка, который прошел курс традиционного обучения, возникает, ощущение легкого дискомфорта. Его сознание напрочь отказывается принять, что и запись " 3+5", и запись " 8" - в равной степени являются записями СУММЫ, являются записями той целостности, которая графически представлена в виде фигурки из восьми клеточек.
Как выйти из этого тупика?
Только одним способом: полным подчинением символической записи процессу графического моделирования. И безусловной точностью использования математических символов.
Во всяком случае, сам учитель должен отчетливо понимать, что между складываемыми предметами (или моделями чисел) бессмысленно ставить знак " +", поскольку этот знак означает то, что акция сложения УЖЕ произошла. И он должен отчетливо понимать, что " слагаемые" - это вовсе не числа, предназначенные к сложению, а числа, уже сложенные в некую целостность - так называемую сумму. И никакой векторности в символической записи сложения на самом деле нет.
Вроде бы очевидная вещь: сложенными мы можем называть только те вещи и предметы, которые действительно сложены. Как же иначе? Но в сознании ребенка, обучающегося в массовой школе, все перевернуто вверх ногами. И он настойчиво пытается связать знаком сложения фигурки, которые на самом деле разрознены.
Так вот, первая истина, первая аксиома сложения, которую должен донести грамотный учитель до сознания ребенка - это аксиома здравого смысла, согласно которой нельзя называть сложенными (и, соответственно, описывать с помощью знака " +" ) предметы, вещи, фигурки, или числа как таковые, если они на самом деле не являются сложенными, т. е. являются разъединенными.
Иначе говоря, до сознания ребенка должно быть доведено то обстоятельство, что фактически разъединенные, но соединенные знаком " плюс" фигурки - это чистейший абсурд. Что знак " плюс" как знак сложения может появляться лишь для описания той ситуации, когда фигурки РЕАЛЬНО оказываются сложенными друг с другом в некую общую целостность.
Вернемся к нашим двум фигуркам из трех и пяти клеточек. Покуда они разъединены - они не сложены. А знак сложения может появиться только рядом с той фигуркой, в которую эти две первые фигурки окажутся сложены.
И только тогда, когда мы пририсовали к трем клеточкам первой фигуры пять клеточек другой (сохранив для наглядности линию демаркации), мы получаем право написать под полученной в результате фигуркой 3+5, поскольку эта запись и является не чем иным, как описанием результата. А результатом является целостная фигурка, сложенная из двух частей по три и пять клеточек в каждой.
Но поскольку другим описанием полученной фигурки является число восемь (общее число клеточек в полученной фигурке), мы можем с уверенностью написать, что 3+5=8.
И эта запись будет свидетельствовать о том, что сложенные вместе части из трех и пяти клеточек каждая составляют целостность из восьми клеточек.
Или, иными словами, данная запись будет свидетельствовать о том, что данное целое является СЛОЖНЫМ или СЛОЖЕННЫМ.
ШАГ 5. Сложение... как разбиение.
Есть, однако, и другой способ моделирования операции сложения.
Способ абсолютно парадоксальный и нелепый с точки зрения традиционного для начальной школы понимания сложения, но абсолютно точный в математическом отношении и чрезвычайно продуктивный с точки зрения задачи формирования абстракции сложения у семилетнего ребенка.
Это способ, позволяющий коренным и радикальным образом преодолеть векторный стереотип сложения и сформировать у семилетнего ребенка глубоко математичный (и драматичный! ) образ сложения как универсального закона, на котором держится мир чисел. Это способ, позволяющий совершенно отчетливо продемонстрировать и увидеть, что любое без исключения число может быть представлено как сумма каких-то других чисел. При этом количество слагаемых (и количество вариантов сложения) может быть достаточно велико, а при переходе в область рациональных чисел - практически бесконечно.
Суть этого второго способа заключается в том, что любая произвольная фигурка, начерченная учителем на демонстрационной доске (скажем, фигурка, состоящая из 15 клеток), разбивается на две или несколько частей путем прочерчивания внутри этой фигурки отчетливых разделительных линий. После чего учитель задает детям вопрос: " А как теперь мне записать с помощью символов то, что я нарисовал? "
Рисунок 3
На рисунке представлена фигурка из 15 клеточек, разбитая на произвольные части. Разбиение описывается как сумма частей.
И самое удивительное заключается в том, что и на этот раз наиболее адекватный способ описания этой фигурки - описание ее как суммы частей. И в первом, и во втором случаях рисунок позволяет увидеть целостную фигурку как графическую сумму частей, хотя действия, приведшие нас к этой сумме были, если угодно, прямо противоположными. В одном случае мы осуществили операцию соединения двух самостоятельных целостностей (целых чисел) в новую целостность, а в другом случае - разбили некую целостность на фрагменты. Однако и в том, и в другом случаях оказался продемонстрирован феномен суммы.
В самом деле, только слово " сложение" позволяет достаточно адекватно описать эффект соединенности различных частей в нечто целое. А когда мы разбиваем какую-то фигурку на части, мы как раз и демонстрируем тот факт, что она является целостностью, состоящей из некоторых фрагментов В данном случае целостностью является исходная фигурка, а составляющими ее частями оказываются фигурки, выделенные уже потом. А это и значит, что все выделенные внутри исходной фигурки части оказываются сложены в ту целостность, каковой является исходная фигурка. Или, еще другими словами, наша фигурка оказывается суммой нами же выделенных частей. И потому естественно, что после того, как наша фигурка оказалась разбита на части, ее следует подписать соответствующим образом, как сумму частей.
Очевидно, что любая фигурка, сколь угодно большая или сколь угодно малая может быть представлена как сумма составляющих ее частей, т. е. может быть представлена как некоторая сложность, как сложенность в единое целое тех или иных частей.
Нельзя не заметить, что такой подход к сложению совершенно не совпадает с принятым в массовой начальной школе и с тем, как учат сложению детей в дошкольном возрасте. Там процесс сложения интерпретируется преимущественно процессуально, как процесс восхождения от первоначально разрозненных количеств к некоему общему количеству. Поэтому и происходит так, что в сознании ребенка процедура сложения на долгое время ассоциируется со словом " получится": " Было пять вишенок, к ним добавили четыре - сколько вишенок получилось? Девять! "
Что касается описываемой здесь модели, то она является по своей сути моделью алгебраической. Здесь ребенок с самого начала начинает осознавать, что каждое число (и очень скоро он убедится в том, что это в полной мере относится и к числу “один”) можно представить как сумму составляющих его частей. Причем количество комбинаций, с помощью которых можно это сделать, весьма велико (а с переходом в область рациональных, дробных чисел ребенок обнаружит, что количество таких возможных комбинаций просто неограничено). И за этим стоит, если угодно, совершенно иная по сравнению с той, что принята в начальной школе, философия сложения
Шаг 6. Аксиомы сложения.
И сложение фигурок друг с другом, и разбиение целостной фигурки на составляющие ее части - это модельная работа, в рамках которой у ребенка формируется физический образ сложения, физический образ суммы как целостной сложности, состоящей из двух или более фигурок-частей.
При этом важно, что любую фигурку можно представить как сложную, как сумму других - достаточно прочертить в ней какие-то линии, разбивающие ее целостность на совокупность внутренних фигурок. И наоборот: любые две фигурки, будучи присоединены друг к другу образуют некую новую целостность, некую новую сложность, т. е. сложенность из других фигурок.
И это, если угодно, - две фундаментальные аксиомы сложения: любое число может быть представлено как сумма двух или более других чисел, и любые два или более числа могут быть сложены в другое число, которое будет называться их суммой.
Вместе с тем, обе описанные выше графические модели сложения являются моделями, которые в равной степени опровергают традиционное для начальной школы представление о сложении как о векторном процессе и затрагивают тем самым глубинные, философские основания математики. И позволяют семилетнему ребенку с увлечением войти в мир математики как в мир серьезнейших философских вопросов и парадоксов.
Вот я упомянул, что одной из фундаментальных арифметических аксиом сложения является аксиома, согласно которой любые два числа могут быть сложены друг с другом. А согласно другой аксиоме любое число может быть представлено как сумма других чисел.
Вроде бы утверждения очевидные, и как аксиомы доказательства не требующие (впрочем, на то они и аксиомы, что доказательства здесь просто невозможны). Но поразительно, до какой степени столь простые и очевидные для взрослого сознания утверждения способны дразнить воображение маленьких детей!
Нужно только забыть, что перед нами аксиомы и попробовать перевести их в проблемную плоскость, сделав предметом обсуждения с детьми.
А потребуется для этого всего два провокационных вопроса.
Первый вопрос - можно ли придумать такие числа, которые было бы невозможно сложить друг с другом? И второй: можно ли придумать такое число, которое невозможно было бы представить как сумму каких-то других чисел?
Сразу замечу, что вопросы эти настолько же простые, насколько бесконечно глубокие. Потому что рядом с ними тут же возникает масса сопутствующих вопросов: если такие числа есть, то что они из себя хотя бы приблизительно представляют? И что же это за странные такие числа, что их нельзя сложить друг с другом или разложить на какие-то составляющие их части?
А если таких чисел нет, то почему?
Вообще надо сказать, что ответ на все эти вопросы далеко не очевиден. Мне, пожалуй, не приходилось еще встречать ребенка, у которого не возникло бы желания (при условии хорошо организованной интриги) попробовать ответить на оба сформулированных вопроса положительно.
И я не встречал ребенка, у которого в связи с этими вопросами не возникал хотя бы проблеск философского размышления.
А задача учителя - создать интригу для того, чтобы соответствующее размышление возникло.
ШАГ 7. Пределы сложения.
Начнем с вопроса о числах, которые нельзя сложить друг с другом.
Первое, что пытаются сделать дети – это тем или иным образом уйти от ответа. " Может, такие числа и есть, но я этого не знаю". " Откуда же я могу знать, какие это числа? "
Но учитель не успокаивается: " Я же не прошу вас назвать эти числа, я прошу вас подумать: возможно ли такое число, которое нельзя было бы сложить ни с каким другим? Или возможны ли два таких числа, которые нельзя было бы сложить друг с другом?
Вот смотрите: у меня вот здесь из клеточек смоделировано одно число, а здесь - другое. И я могу их сложить вместе... Три и пять - могу. Семь и девять - могу... А может быть все-таки есть такие числа, которые нельзя сложить друг с другом?.. "
В условиях коллективной работы и " подначивания" со стороны учителя дети не выдерживают искушения, и вот уже появляются маленькие ниспровергатели аксиом, которые наконец-то начинают думать. Они начинают предлагать варианты, и тут же с ними спорить, опровергать.
Вначале - немного наивные варианты: " Это будут такое большое число, что мы не сможем его записать! " Или: " Это будет так много клеточек, что мы никогда не сможем их нарисовать".
Теперь отбивается учитель: " Ну хорошо, а если складывать в воображении? Да, мы не можем нарисовать слишком много клеток, но ведь мы можем их представить! Попробуйте представить, какой величины должно быть число, чтобы его нельзя было сложить с каким-то другим!? "
Подумав еще немного, дети могут прийти к выводу, что каким бы ни было большим число, к нему всегда можно будет прибавить еще какое-то.
Правда, среди детей всегда может найтись маленький философ, который предложит коварный вариант типа: " А что, если одно число будет величиной с весь мир, и другое число будет тоже величиной с весь мир - тогда их можно будет сложить? "
" Но если первое число уже величиной с мир, откуда возьмется второе?... "
И новый цикл рассуждений - о том, что такое " весь мир", как можно быть величиной " с весь мир" и т. п.
Один из смыслов этой дискуссии заключается в том, что дети так или иначе выходят на идею бесконечности или, скорее, на вопрос о бесконечности: " Дети, кто-нибудь может представить себе бесконечность? Так, чтобы каким бы ни было число большим, его можно было бы еще увеличить, и так без конца?! "
Вопрос чрезвычайно коварный и способный раздразнить воображение любого ребенка: как это так – нет конца?
Весь жизненный опыт ребенка свидетельствует о том, что у всего без исключения есть конец, есть границы.... И что крайне важно - это вопрос, который в каком-то смысле обречен остаться без ответа как " предельный" философский вопрос.
Бесконечность нельзя вообразить - сознание " ломается" от такой попытки. Однако, с другой стороны, нельзя вообразить и… отсутствие бесконечности: нельзя вообразить число, к которому уже ничего нельзя прибавить.
И в этом, между прочим, суть арифметической идеи сложения: сложение носит абсолютный характер. Нет и не может быть такого числа, которое нельзя было бы сложить с другим.
А это значит, что арифметика имеет дело с бесконечностью. И ребенок, который только-только начинает заниматься арифметикой, должен пережить чувство трепетного восторга-ужаса пред арифметикой, предмет интересов которой вовсе не ограничивается, оказывается, вишенками и кузнечиками, а распространяется на саму бесконечность, которую даже вообразить невозможно.
ШАГ 7. В глубины числа.
Что касается вопроса о том, можно ли представить число, которое нельзя разбить на составляющие его части, нельзя представить как сумму слагаемых, то здесь многие дети на первых порах готовы ответить легким и быстрым " Да! ", имея в виду число один, которое моделируется на тетрадной странице с помощью одной клеточки.
" А разве одну клеточку нельзя разбить на части? " - спрашивает учитель.
" Конечно можно, но разве это будут числа? "
" А посмотрите сами.
Вот я делю клеточку на две равные части. Может быть кто-нибудь скажет, какое число клеточек находится в каждой из этих частей? "
" Никакого! "
" Ну как же никакого? Ведь что-то в этих частях есть!
Понятно, что в них нет ЦЕЛЫХ клеточек. Но ведь в них есть какие-то кусочки от клеточек! Какие же это кусочки? Как они называются? "
" Половинки! "
" Ну конечно это половинки одного! Это числа, которые нельзя назвать целыми, но ведь это все равно числа! Просто их называют дробными, раздробленными. Это числа-кусочки. Это числа, которые оказываются меньше одного. А кому-нибудь известны или кто-нибудь может придумать другие числа меньше одного? "
И тут выясняется, что дети кое-что знают.
Знают, например, что такое четвертинка. И знают, что такое треть. И могут в одной клетке выделить то и другое.
" Ну хорошо, - продолжает учитель. - Вот мы разделили клетку на четыре равные части. Каждая получившаяся в результате часть - это четвертинка. Из скольких четвертинок сложена наша одна клеточка? ”
“Конечно, из четырех”.
“ А из скольких четвертинок сложена каждая ее половинка? ”
“Ну конечно, из двух”.
“Хорошо, а можно теперь четвертинку разделить на какие-то кусочки, из которых она сложена? ”
“Разумеется, можно - только мы не знаем пока, как эти кусочки назвать”.
“А каждый из получившихся кусочков еще на кусочки разделить? А получившиеся кусочки разделить еще раз? Сможем ли мы, наконец, добраться до такой частички, про которую уже нельзя будет сказать, что она из чего-то сложена, что ее нельзя разделить? "
" Но мы же их не сможем увидеть! "
" А если делать все это только в воображении? "
…И снова мы выходим на проблему бесконечности, но бесконечности, которая на этот раз направлена, если угодно " в другую сторону", в глубь числа.
Ну, так вот. Можно ли себе представить настолько маленькое число, что оно... не состоит ни из каких частей?! Иначе говоря, можно ли представить себе такой кусочек клеточки, который нельзя было бы разбить на еще более маленькие кусочки?
|
|
|
