 |
ГЛАВА VII. 3 страница
|
|
|
|
Разумеется, речь идет не о физическом пределе уменьшения, а о математическом.
Физический предел уменьшения, несомненно, есть - есть элементарные структуры материального мира (скажем, “кварки”) которые даже теоретически е не расщепляются на " составляющие" их элементы, а, следовательно, это такие структуры, которые сами ни из чего не состоят, ни из чего не сложены.
Но нас в данном случае интересует исключительно математический предел расщепления. А вот как раз он отсутствует, и наша клеточная модель единицы может расщепляться на все более мелкие составляющие части бесконечно. И это одна из базовых аксиом сложения.
Итак, арифметика сложения должна начинаться вовсе не со сложения птичек или кузнечиков. Арифметика должна начинаться с разговора о предельных вещах.
Учитель должен поразить воображение первоклассников идеей бесконечности - идеей бесконечно больших и бесконечно малых чисел. И лишь после того, как он сумеет показать универсальность и абсолютность идеи сложения, имеет смысл переходить к элементарной счетной практике, практике сложения целых чисел.
ШАГ 8. Альтернативные практики сложения.
Практика даже самого элементарного сложения в начальной школе должна иметь для ребенка не “прагматически-магазинную”, а философскую перспективу. Складывая даже самые элементарные числа, ребенок должен иметь в виду бесконечность.
Впрочем, и сама практика сложения с опорой на идею клеточного моделирования может быть чрезвычайно разнообразной.
Это может быть и сложение-соединение (сложение двух и более различных фигурок в целостность), и сложение-разбивка (представление некоей исходной целостности как суммы двух и более составных частей. Но самый главный принцип при этом по-прежнему заключается в том, что любой акт сложения следует представлять в виде числовой модели, и одновременно - с помощью символической записи.
|
|
|
Самый простой тип задачи заключается в том, что учитель рисует произвольную фигурку, разбивает ее на произвольное количество частей и после этого предлагает описать эту фигурку символическим образом как сумму частей. Естественно, что вначале дети, как обычно, перерисовывают заданную фигурку к себе в тетради, а потом подписывают ее, например, так: 34=14+8+9+3. И естественно, что у такого рода заданий может быть один, и только один вариант ответа.
Рисунок 4
Фигурка из 34 клеточек, разбитая учителем на четыре фрагмента различной величины. Задача состоит в том, чтобы дети скопировали эту фигурку и ее разбиение в свою тетрадь, а затем сами сделали ее символическое описание как 34=14+8+9+3.
Еще один вариант задачи того же типа состоит в том, что учитель просто рисует произвольную (не расчерченную на части) фигурку, а затем предлагает детям самим разбить ее какое-то определенное количество частей, а затем подписать получившуюся сумму символически. Например, предлагается фигурку из 30 клеточек разбить на пять частей. Само собой разумеется, что эта задача имеет множество вариантов решения, и вполне вероятно, что в классе не найдется совпадающих вариантов решения этой задачи. Во всяком случае, последнее надо вводить как ценность и радоваться, если кому-то из детей удается предложить такой вариант разбивки, которого нет ни у кого другого
Рисунок 5.
Приведено шесть вариантов разбиения фигурки из 30 клеточек на пять частей. Все шесть вариантов различны, однако символические описания получившейся разбивки в ряде случаев совпадают.
В сущности говоря, это не что иное, как увлекательная игра. В нее можно играть как индивидуально, так и коллективно. Представитель одной из команд рисует произвольную фигурку и предлагает разбить ее на некоторое определенное количество частей. Выигрывает команда, которая предложит большее количество не совпадающих вариантов разбиения
|
|
|
Или другой вариант игры. Загадывается некий вариант разбивки на некоторое количество частей, а напарник (или другая команда) пытается отгадать этот вариант разбивки в возможно меньшее количество ходов.
Возможен и противоположный вариант задания. Учитель делает какую-то символическую запись (скажем, 5+7+10=? ), а детям предлагает построить соответствующую графическую модель. После того, как графическая модель построена, дети определяют общее количество клеточек в получившейся фигурке и сами завершают символическую запись: 5+7+10=22.
Понятно, что такое задание предполагает множество правильных вариантов графической модели. Скажу больше: предполагает практически неисчерпаемое множество таких вариантов. И очень важно, чтобы дети видели эту многовариантность: учитель показывает всему классу каждый очередной вариант: смотрите, мол, оказывается, эта символическая запись может быть представлена и такой, и такой, и такой фигурками.
Рисунок 6.
Приведено несколько возможных вариантов графического представления записи 5+8+9+6=?
С этим вариантом задания может быть связана еще одна увлекательная игра. Соревнующиеся команды пытаются сочинить как можно больше вариантов графического представления очередной символической записи.
Или пытаются возможно меньшим количеством ходов угадать загаданную графическую модель, имея в распоряжении только символическую запись.
Кстати говоря, будет просто здорово, если дети начнут раскрашивать выделенные в фигуре части (т. е. слагаемые суммы) разными цветами. В этом случае их тетради по математике наполнятся праздничным разнообразием цветов, а каждая фигурка обретет кроме всего прочего яркое эстетическое лицо.
ШАГ 9. Компакт-сложение.
Безусловно возможно и такое задание: учитель рисует две (или три, или четыре и т. д. ) произвольные раздельные фигурки, и предлагает сложить эти фигурки графически (не меняя их конфигурации), а затем описать получившуюся фигурку символическим образом. Разумеется, символическая запись должна у всех детей при этом совпадать, хотя чисто графических вариантов такого сложения и получающихся в результате целостных фигур может быть неисчерпаемо много.
|
|
|
Особенно интересен в плане развития пространственного воображения детей подвариант, знакомый детям по известной компьютерной игре " Тетрис": фигурки нужно сложить друг с другом так, чтобы они упаковались наиболее компактным образом. Естественно, что конфигурация исходных фигурок не должна при этом нарушаться. Определение степени компактности как и ранее делается по величине периметра.
В связи с этим заданием так же возможна яркая, увлекательная игра: команды соревнуются на наиболее компактную упаковку предложенных фигур, всякий раз определяя степень достигнутой компактности через измерение периметра.
Рисунок 7.
Предложены три фигурки из 7, 10 и 13 клеточек и показаны несколько возможных вариантов объединения (сложения) этих фигурок в единую. После измерения периметров получившихся вариантов становится ясно, какой из них представляет собой наиболее компактную упаковку.
Один из вариантов компакт-сложения - это такое сложение заданных фигурок, при котором они складываются в прямоугольник или квадрат. Естественно, что такого рода сложение носит характер особо сложной пространственной головоломки, и одновременно - важнейшего арифметического тренинга. И это такой тренинг, которым дети занимаются с невероятной увлеченностью. Очень скоро начинают сами разрабатывать головоломки такого рода и предлагать их друг другу, а также мамам, папам и другим родственникам.
ШАГ 10. Закономерности сложения.
Кроме всего прочего возможен ряд, так сказать, специализированных задач, решение которых позволяет обратить внимание детей на важнейшие закономерности сложения, но сделать это без жесткого навязывания учащимся.
Например, учитель рисует последовательный ряд фигурок из 9+1=10, 9+2=11, 9+3=12, 9+4=13 и т. д. клеточек и предлагает самостоятельно продолжить этот ряд на столько далеко, насколько получится, символически описывая каждый новый шаг. При этом важно, чтобы у всех фигурок ряда была однотипная конфигурация - скажем, за основу может быть принят прямоугольный столбик шириной в две, в три и т. д. клетки. Таким образом, оказывается создана особая графическая композиция, в которой оказывается представлена таблица сложения числа девять с другими числами.
|
|
|
А после того, как первая графическая последовательность составлена, детям предлагается разработать свои графические варианты той же самой таблицы.
Рисунок 8.
Представлены четыре возможных варианта таблицы сложения с девятью: с основанием столбика в две, в три и в четыре клеточки. Однако понятно, что таких вариантов может быть огромное количество, и каждый из них будет по-своему орнаментально красив.
Естественно, что символическую подпись к рисункам делают сами дети. Им же предоставляется возможность самостоятельно продолжить незаконченные ряды и сделать собственные.
Понятно, что точно так же можно промоделировать таблицу сложения любого другого числа.
Между прочим, такого рода графическое моделирование таблиц сложения позволяет без всяких дополнительных объяснений продемонстрировать детям специфику сложения различных чисел: ведь эта специфика при грамотно осуществленном моделировании оказывается воистину ОЧЕВИДНОЙ.
Впрочем, можно графически смоделировать и другие закономерности сложения.
Например, закономерность образования десятков, когда учитель предлагает последовательный ряд прямоугольников 2х5 со следующей внутренней разбивкой: 1+9, 2+8, 3+7... И детям вновь предлагается описать предложенные прямоугольники символически и отгадать продолжение данного ряда (естественно, отгадать графически и вновь описать символически).
Рисунок 9
Представлены разные варианты образования числа 10, числа 9, числа 8.
ШАГ 11. Извлечение и " упаковка" числовой последовательности.
Особая задача - задача извлечения числовой последовательности, " спрятанной" учителем в компактной фигуре (например, в прямоугольнике) в виде ее разноцветных фрагментов. Ученик должен прежде всего расшифровать эту последовательность (т. е. расставить уже в символической записи все слагаемые в необходимом порядке). Например, если в фигурке из 28 клеточек " упакована" последовательность натурального ряда, он должен описать эту фигурку следующим образом: 28=1+2+3+4+5+6+7.
На следующем этапе нужно вытащить все упакованные фигурки и разместить их в возрастающий ряд, отдельно друг от друга, но без нарушения конфигурации.
|
|
|
Рисунок 10.
Пример последовательности натурального ряда от 1 до 7, упакованной в прямоугольник 4х7.
Рисунок 11
Графический ряд возрастающей числовой последовательности после ее извлечения из исходного прямоугольника:
То же самое делается и в том случае, если в фигурке прячутся другие, более сложные последовательности.
Вначале новые последовательности сочиняет и “прячет” в компакт-формате учитель, а в последующем и сами дети начинают упаковывать те или иные последовательности в максимально компактные фигурки, желательно – в прямоугольник или квадрат.
Тем самым возникает новая увлекательная конфигурационно-математическая игра, способная чрезвычайно эффективно развивать разнообразные детские способности, в том числе, способности математические.
ШАГ 12. Встреча с умножением.
В предыдущей главе уже была введена идея умножения как способ количественного описания фигурок, имеющих формат прямоугольника: прямоугольник - это фигурка, в которой сама ее конфигурация позволяет отчетливо увидеть равные группы клеток, составляющие вертикальные или горизонтальные ряды.
Однако только после того, как дети встретились с идеей сложения, у них оказывается возможна полноценная встреча с идеей умножения (еще раз подчеркну: с идеей умножения, а вовсе не с технологическим приемом, облегчающим счет).
Вернемся к задаче, описанной выше как задача разбиения заданной фигурки на некоторое количество частей.
Один из подвариантов этой задачи, заключается в том, чтобы разбить фигурку на такие части, которые были бы равны между собой.
Например, рисуется фигурка из пятнадцати клеточек, и детям предлагается разбить ее на пять равных частей. .
Естественно, что дети, решая эту задачу, вынуждены будут разбить фигурку на такие части, в каждой из которых будет по три клеточки. И описано это будет следующим образом: 15=3+3+3+3+3.
Здесь-то и вводится тот вариант символической записи, согласно которому 3+3+3+3+3 можно записать как 3х5.
И с этого момента разбиение фигурок на равные части будет сопровождаться у детей расширенной записью типа: 15=3+3+3+3+3=3х3.
Рисунок 12.
Несколько вариантов возможной разбивки фигурки из 15 клеточек на пять равных частей. Все эти варианты описываются одним и тем же образом: 15=3+3+3+3+3=3х3
Рисунок 13.
Та же самая фигурка из 15 клеточек, разбитая (несколькими способами) на три равные части. В этом случае запись, естественно, выглядит так: 15=5+5+5=5х3.
Таким образом, учитель может предлагать детям самые разные числа, включая простые, но в последнем случае, естественно, ему придется предлагать разбить фигурку на такое количество частей, которое будет равно самому заданному числу, т. е. на части, каждая из которых будет состоять из одной клеточки.
Рисунок 14.
Единственно возможный вариант разбивки на равные части фигуры, состоящей из 11 клеточек: 11=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1х11.
Шаг 13. Поиск множителей.
Впоследствии дети сами начинают искать и изобретать фигурки, которые можно разбивать на равные части и описывать с помощью умножения. И снова может возникнуть увлекательная игра и увлекательная серия заданий. Например, задание отыскать как можно больше чисел в пределах сотни (или в пределах тысячи – лишь бы фигурка уместилась на тетрадной странице), которые можно разбить на равные фрагменты по две, три, четыре, пять и т. д. клеточек. Или наоборот: найти как можно больше чисел, которые можно разбить на два, три, четыре, пять и так далее равных фрагментов.
А затем приходит время усложненного и еще более важного варианта этой задачи: учитель рисует произвольную фигурку и предлагает детям самим догадаться, на какое количество равных частей эту фигурку можно разбить.
Естественно, что у каждого числа есть разное количество таких вариантов. Но, опираясь на графическую модель, учащийся первого класса безусловно способен самостоятельно найти их все. А, значит, оказывается способен самостоятельно найти все множители всех чисел в пределах первой, а иногда даже и второй сотни!
Естественно, что фигурка, которая разбита на равные фрагменты, легко преобразуется далее в прямоугольник. Прямоугольник " обнажает" процедуру умножения, и потому такое преобразование обязательно должно завершать работу на обнаружение множителей.
Ну и естественно, что все варианты разбивки исходной фигурки связываются между собой знаком равенства, а так же связываются знаком равенства с теми прямоугольниками, в который они в итоге трансформируются.
А в результате выстраивается достаточно длинный ряд преобразования.
Рисунок 15.
Вниманию детей предложена произвольная фигурка из 24 клеточек. В процессе экспериментов с этой фигуркой дети обнаружили, что она может быть разбита на 24 части по одной клетке, на 12 частей по две клетки, на 8 частей по три клетки, на 6 частей по четыре клетки, на 4 части по 6 клеток, на 3 части по восемь клеток, на 2 части по 12 клеток. Кроме того фигурка может быть представлена как состоящая из одной части. Таким образом, одна и та же фигурка оказывается представлена восемью вариантами разбиения. Все эти варианты вырисовываются на отдельном листе и связываются знаками равенства. А кроме того каждый очередной вариант разбиения трансформируется в соответствующий прямоугольник. Таким образом, всего получается 16 рисунков, связанных знаками равенства и представляющими собой не что иное, как графическое исследование разложения на множители числа 24.
Кстати оговорюсь: фигурка 3х8=24 и 8х3=24 рисуются как РАЗНЫЕ фигурки. Хотя по своей конфигурации это тождественные прямоугольники, однако в первом случае прямоугольник состоит из восьми рядов по три клеточки в каждом ряду, тогда как во втором случае - из трех рядов по восемь клеточек. Естественно, что в том и в другом случаях ряды должны быть четко отчерчены друг от друга.
ШАГ 14. Изобретаем... таблицу умножения.
Казалось бы, зачем изобретать велосипед? Вечный вопрос.
Если некоторое упорядоченное знание уже есть, не лучше ли его просто дать, а не мучить детей необходимостью сочинять какие-то свои классификации?
Напомню, однако: только то знание является подлинным, которое является личностным. И ключевой вопрос образования состоит не просто в том, чтобы научить ребенка что-то знать, а в том, чтобы человек мог пройти свой собственный путь к тому или иному знанию.
В этом, если угодно, основа формирования творческого отношения к знанию, когда знание рассматривается не как мертвая и вечная информация, а как открытая проблема, порождающая все новое и новое знание (знание, которого до сих пор не существовало в культуре).
Таким образом, подлинное знание - то, которое не усваивается сознанием, а проблематизирует сознание.
Принципиально важно подчеркнуть, что при решении всех описанных выше задач дети не пользовались никакой таблицей умножения, а просто эмпирически устанавливали соответствие между двумя типами описания прямоугольников: с помощью множителей (каковыми являются количество клеток в ряду и количество рядов) и с помощью обыкновенной числовой записи.
И лишь после того, как у учителя формируется твердая уверенность в том, что дети безошибочно идентифицируют множители при описании прямоугольников с помощью умножения и, следовательно, устанавливают безошибочные равенства, он предлагает детям упорядочить все получающиеся у них результаты в виде какой-то таблицы - упорядочить всю найденную ими информацию в виде последовательно возрастающих числовых рядов.
Надо сказать, что задание на создание собственной таблицы умножения, или, точнее, пра таблицы умножения может привести к возникновению самых неожиданных вариантов упорядочения. Но во всяком случае это будут пока только весьма фрагментарные попытки упорядочения.
Один из самых простых (и одновременно эффективных) вариантов упорядочения различных случаев умножения - это упорядочение по тем числам, которые принято называть " произведением", и которые моделируются как последовательность возрастающих фигурок, разными способами разбиваемых на равные части и описываемых с помощью множителей.
ШАГ 14. " Пирамида умножения".
Традиционная для начальной школы трактовка феномена умножения (как и феномена сложения) носит подчеркнуто векторный характер. Это значит, что школьники привыкают рассуждать о некоем результате умножения.
Мол, в записи 3х3=9 число девять является результатом умножения трех на три.
Соответственно и запись 9=3х3 прочитывается тем же самым, " векторным" зрением, но только вектор меняет свое направление, и теперь направлен от правой части равенства к левой.
Иначе говоря, для любого школьника (и, увы, в громадном большинстве случаев для учителей) эта запись по-прежнему повествует о том, что в результате умножения трех на три получается число девять.
Отсюда происходит и построение традиционной таблицы умножения: оно подчеркивает эту самую векторность. За основу упорядочения различных случаев умножения в единую таблицу здесь принимается принцип последовательного увеличения множителей. Вначале предлагаются варианты умножения на один, затем - варианты умножения на два и так далее.
Однако в плане формирования математических структур понимания гораздо продуктивнее выглядит та трактовка, согласно которой стороны равенства именно равновесны, т. е. представляют собой просто-напросто разные способы описания одного и того же числа. И именно эта трактовка оказывается наиболее продуктивной при клеточном моделировании умножения.
Во всяком случае, клеточное моделирование умножения делает совершенно естественным упорядочение различных случаев умножения не по принципу пошагового возрастания множителей, а по принципу пошагового возрастания тех чисел, которые описываются с помощью процедуры умножения. А в результате получается чрезвычайно емкая и многогранно информативная таблица, математический смысл которой выходит далеко за границы той традиционной таблицы умножения, которую традиционно учат или зубрят дети массовой школы, начиная со второго класса.
Точнее было бы сказать, что это не таблица даже, а пирамида умножения, из которой внимательный наблюдатель может извлечь массу интереснейшей информации. Особенно если строго соблюсти графику вертикальных соответствий, а горизонтальные ряды одинаковой длины выделить одним цветом. Другой полезный вариант цветовой маркировки - это выделение одним цветом одинаковых множителей.
Рисунок 16
1=1х1
2=1х2 = 2х1
3=1х3 = 3х1
4=1х4 = 4х1=2х 2
5=1х5 = 5х1
6=1х6 = 6х1=2х 3= 3х2
7=1х7 = 7х1
8=1х8 = 8х1=2х 4= 4х2
9=1х9 = 9х1=3х 3
10=1х10=10х1=2х 5= 5х2
11=1х11=11х1
12=1х12=12х1=2х 6 = 6х2=3х4 = 4х3
13=1х13=13х1
14=1х14=14х1=2х 7 = 7х2
15=1х15=15х1=3х 5 = 5х3
16=1х16=16х1=2х 8 = 8х2=4х4
17=1х17=17х1
18=1х18=18х1=2х 9 = 9х2=3х6 = 6х3
19=1х19=19х1
20=1х20=20х1=2х10=10х2=4х5 = 5х4
21=1х21=21х1=3х 7 = 7х3
22=1х22=22х1=2х11=11х2
23=1х23=23х1
24=1х24=24х1=2х12=12х2=3х8 = 8х3=4х6=6х4
25=1х25=25х1=5х 5
26=1х26=26х1=2х13=13х2
27=1х27=27х1=3х 9 = 9х3
28=1х28=28х1=2х14=14х2=4х7 = 7х4
29=1х29=29х1
30=1х30=30х1=2х15=15х2=3х10=10х3=5х6=6х5
31=1х31=31х1
32=1х32=32х1=2х16=16х2=4х8 = 8х4
33=1х33=33х1=3х11=11х3
34=1х34=34х1=2х17=17х2
35=1х35=35х1=5х7 = 7х5
36=1х36=36х1=2х18=18х2=3х12=12х3=4х9=9х4=6х6
37=1х37=37х1
38=1х38=38х1=2х19=19х2
39=1х39=39х1
40=1х40=40х1=2х20=20х2=4х10=10х4=5х8=8х5
41=1х41=41х1
42=1х42=42х1=2х21=21х2=3х14=14х3=6х7=7х6
43=1х43=43х1
44=1х44=44х1=2х22=22х2=4х11=11х4
45=1х45=45х1=3х15=15х3=5х9 = 9х5
46=1х46=46х1=2х23=23х2
47=1х47=47х1
48=1х48=48х1=2х24=24х2=3х16=16х3=4х12=12х4=6х8=8х6
49=1х49=49х1
50=1х50=50х1=2х25=25х2
И так далее.
Естественно при этом, что вся эта таблица не просто записывается символически, но и моделируется графически - как серии связанных знаком равенства прямоугольных трансформаций, которые претерпевают фигурки, сложенные из того или иного количества клеточек.
Иначе говоря, каждая строка этой таблицы должна иметь модельный прообраз или модельное подтверждение: ведь каждая новая строка появляется в этой таблице лишь после того, как детьми создана соответствующая графическая модель (модель прямоугольных трансформаций для очередного числа). Вот как эта чреда трансформаций может выглядеть в отношении, допустим, числа 36.
Рисунок 17
36=1х36=36х1=2х18=18х2=3х12=12х3=4х9=9х4=6х6
Вместе с тем чрезвычайно важно вычертить (или выписать) на отдельный лист чисто символическую таблицу (в виде приведенной выше " числовой пирамиды" ) и пополнять ее по мере создания новых графических моделей.
При этом важно заполнять эту таблицу таким образом, чтобы все знаки равенства сами выравнивались бы в стройные столбики - это позволит увидеть внутренние особенности и закономерности этой таблицы.
Достаточно посмотреть на получающиеся в этой таблице числовые вертикальные столбики - в них определенно есть некая " вертикальная" организованность. Но на данном этапе дети пока еще не готовы к самостоятельному анализу столь сложных построений, и потому к анализу такого рода " пирамиды умножения" мы вернемся во второй части книги, в главе, специально посвященной проблеме числовых пирамид. Однако какие-то любопытные закономерности ребенок сможет обнаружить уже сейчас.
Например, эта таблица позволяет отчетливо увидеть факт существования так называемых " простых чисел".
Бросается также в глаза, что длину очередной строчки практически невозможно предсказать.
Кроме того эта " пирамида умножения" позволяет практически мгновенно выделять числа с наибольшим и наименьшим количеством множителей.
Вначале учитель строит " пирамиду умножения" вместе с детьми. Когда же становится ясно, что дети усвоили основные принципы ее построения, детям предлагается самим продолжить эту таблицу настолько далеко, насколько у них получится - естественно, снова пользуясь модельной графикой.
И надо сказать, что именно такой способ построения таблицы умножения чрезвычайно увлекателен, поскольку дает возможность увидеть “множительную специфику” каждого числа. У ребенка возникает азарт. Например, ему становится интересно узнать, строчка какого числа окажется самой длинной. Не говоря уже о том, что это просто оказывается неплохим тренингом умножения как чисто вычислительной (технической) операции.
И лишь после того, как дети вместе с учителем (а потом и индивидуально) осуществят попытку упорядочить свои открытия в области умножения в виде такого рода таблицы, учитель сообщает детям о факте существования, так сказать, " канонической" таблицы умножения.
И вот дети обращаются (впервые! ) к стандартной таблице умножения и обнаруживают, что установленные ими эмпирически соответствия между числом клеток в прямоугольнике и произведением числа клеток в ряду на количество этих рядов уже записаны в этой таблице, и что она может выступать в роли своего рода справочника.
ШАГ 15. Мистерия площади.
В связи с предложенной выше графической интерпретацией феномена умножения хотелось бы обратить внимание на одно математическое недоразумение, которое, являясь по своей сути абсурдным, давным-давно закреплено как дидактическая норма и ни у кого не вызывает сомнений, несмотря на свою явную нелепость.
Речь идет о том, как учат детей находить площадь прямоугольных фигур.
Если школьника, прошедшего курс школьной математики, попросить определить площадь любого произвольного прямоугольника, он, не задумываясь, (вот именно, что не задумываясь! ) измерит длину и ширину этого прямоугольника, а затем их перемножит и получит результат.
И точно так же сделает любой взрослый.
А если спросить его, чему же равна площадь любого прямоугольника, он решительно ответит: длине одной стороны, умноженной на длину другой стороны.
Несомненно, что численный результат, который получит при этом наш испытуемый будет абсолютно верен. Действительно, если взять прямоугольник длиной, допустим, пять сантиметров, а шириной три сантиметра, его площадь составит 3х5=15.
Чего? Разумеется, квадратных сантиметров.
Но вот тут-то и возникает серьезнейший вопрос: как это так?
Почему умножая просто сантиметры (длину одной стороны) на другие сантиметры (длину другой стороны), мы вдруг получаем в результате... квадратные сантиметры?
Чтобы разобраться в проблеме, вернемся к исконному смыслу самого понятия умножения.
Вспомним: суть феномена умножения заключается в том, что некоторое число складывается само с собой некоторое количество раз.
Скажем, берем пять клеточек (или конфет, или чего угодно другого) и увеличиваем их в три раза, получая тем самым пятнадцать клеточек (или конфет, или того другого, что было нами исходно взято).
Или берем отрезок длиной в три сантиметра, умножаем его на пять (иными словами, отмериваем этот отрезок пять раз ), и получаем в итоге пятнадцать сантиметров.
Разумеется, никаких не квадратных.
И во всяком случае, смысл этих процедур отчетливо понятен: есть некий аргумент, который функционально увеличивается в то или иное количество раз.
А если какой-нибудь ребенок заявит, что он умножает пять клеточек на... три другие клеточки или умножает пять конфет на... три другие конфеты, мы отчетливо заявим ребенку, что это - абсурд.
Что нельзя умножать конфеты на конфеты, а клеточки на клеточки.
Что суть процедуры умножения в том, что нечто просто количественно размножается - т. е. увеличивается в то или иное количество раз, т. е. в то или иное количество элементарных, единичных целостностей. Понятно при этом, что в случае, когда, исходное число " увеличивается" в одну вторую раза – оно сокращается вдвое.
|
|
|
