Тема 1. 2. Линейная модель парной регрессии и корреляции
Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров
Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис.):
Рис. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.
Как известно из курса математики, чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров Обозначим
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров
Решая систему уравнений, найдем искомые оценки параметров Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы:
где
и
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий.
Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности. Параметр Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях. Формально Если признак-фактор Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах:
Чем ближе абсолютное значение Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака
где
Соответственно величина характеризует долю дисперсии После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной
где
Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице (
Таблица.
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину
Фактическое значение
При этом, если фактическое значение Для парной линейной регрессии
Величина
В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
где
Величина стандартной ошибки совместно с Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение
которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как
Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака
Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.
Рис. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра
Стандартная ошибка параметра
Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии.
Вычисляется
его величина сравнивается с табличным значением при Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции
Фактическое значение
Существует связь между
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое
т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки
где
а
Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.
Таблица.
Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции.
Рис.
По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию. Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу.
Таблица.
Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии
Для этого воспользуемся формулами:
Получили уравнение:
Т.е. с увеличением дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 168 руб. Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции
Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками. Коэффициент детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,7% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,3%.
Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью Сосчитаем фактическое значение
Табличное значение (
Так как
то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции
Фактические значения
Табличное значение есть
Так как
и
то признаем статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и
Получим, что и
Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10 таблицы)
И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора
т.е. найдем расходы на питание, если доходы семьи составят 9,85 тыс. руб.
Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на питание будут 2,490 тыс. руб. Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
а доверительный интервал (
Т.е. прогноз является статистически надежным. Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии:
Рис.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|