 |
Тема 4. 1. Автокорреляция уровней временного ряда
|
|
|
|
При построении эконометрической модели используются два типа данных:
1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;
2) данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями.
Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.
Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.
Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
1) факторы, формирующие тенденцию ряда;
2) факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3) случайные факторы.
Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.
Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя.
Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель.
Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.
На рис. показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.
Рис.
Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям.
Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним).
|
|
|
При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка.
На рис. представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.
Рис.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.
Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис.
Рис.
Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей.
Чаще всего они содержат все три компоненты.
Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент.
Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда.
Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.
Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
|
|
|
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
где
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда 
и 
.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.
Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями 
и 
и определяется по формуле:
где
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше 
.
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда.
График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
|
|
|
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 
, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим пример.
Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне.
Таблица.
| Год | Квартал | 
| Количество возбужденных дел, 
|
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV |
Построим поле корреляции:
Рис.
Уже исходя из графика видно, что значения 
образуют пилообразную фигуру.
Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.
Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
Таблица.
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| – | – | – | – | – | – | ||
| -328,33 | -288,13 | 94601,72 | 107800,59 | 83018,90 | |||
| 169,67 | -292,13 | -49565,70 | 28787,91 | 85339,94 | |||
| 315,67 | 205,87 | 64986,98 | 99647,55 | 42382,46 | |||
| -342,33 | 351,87 | -120455,66 | 117189,83 | 123812,50 | |||
| -228,33 | -306,13 | 69898,66 | 52134,59 | 93715,58 | |||
| 292,67 | -192,13 | -56230,69 | 85655,73 | 36913,94 | |||
| 320,67 | 328,87 | 105458,74 | 102829,25 | 108155,48 | |||
| -309,33 | 356,87 | -110390,60 | 95685,05 | 127356,20 | |||
| -344,33 | -273,13 | 94046,85 | 118563,15 | 74600,00 | |||
| 292,67 | -308,13 | -90180,41 | 85655,73 | 94944,10 | |||
| 205,67 | 328,87 | 67638,69 | 42300,15 | 108155,48 | |||
| -238,33 | 241,87 | -57644,88 | 56801,19 | 58501,10 | |||
| -245,33 | -202,13 | 49588,55 | 60186,81 | 40856,54 | |||
| 220,67 | -209,13 | -46148,72 | 48695,25 | 43735,36 | |||
| 227,67 | 256,87 | 58481,59 | 51833,63 | 65982,20 | |||
| Сумма | 9,05 | 0,05 | 74085,16 | 1153766,39 | 1187469,73 | ||
| Среднее значение | 699,33 | 663,13 | – | – | – | – | – |
|
|
|
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле:
.
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
Таблица.
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| – | – | – | – | – | – | ||
| – | – | – | – | – | – | ||
| 145,57 | -269,79 | -39273,33 | 21190,62 | 72786,64 | |||
| 291,57 | -273,79 | -79828,95 | 85013,06 | 74960,96 | |||
| -366,43 | 224,21 | -82157,27 | 134270,94 | 50270,12 | |||
| -252,43 | 370,21 | -93452,11 | 63720,90 | 137055,44 | |||
| 268,57 | -287,79 | -77291,76 | 72129,84 | 82823,08 | |||
| 296,57 | -173,79 | -51540,90 | 87953,76 | 30202,96 | |||
| -333,43 | 347,21 | -115770,23 | 111175,56 | 120554,78 | |||
| -368,43 | 375,21 | -138238,62 | 135740,66 | 140782,54 | |||
| 268,57 | -254,79 | -68428,95 | 72129,84 | 64917,94 | |||
| 181,57 | -289,79 | -52617,17 | 32967,66 | 83978,24 | |||
| -262,43 | 347,21 | -91118,32 | 68869,50 | 120554,78 | |||
| -269,43 | 260,21 | -70108,38 | 72592,52 | 67709,24 | |||
| 196,57 | -183,79 | -36127,60 | 38639,76 | 33778,76 | |||
| 203,57 | -190,79 | -38839,12 | 41440,74 | 36400,82 | |||
| Сумма | -0,02 | -0,06 | -1034792,71 | 1037835,43 | 1116776,36 | ||
| Среднее значение | 723,43 | 644,79 | – | – | – | – | – |
Следовательно
.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица.
| Лаг | Коэффициент автокорреляции уровней |
| 0,063294 | |
| –0,961183 | |
| –0,036290 | |
| 0,964735 | |
| 0,050594 | |
| –0,976516 | |
| –0,069444 | |
| 0,964629 | |
| 0,162064 | |
| -0,972918 | |
| -0,065323 | |
| 0,985761 |
Коррелограмма:
Рис.
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
|
|
|
