 |
Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.
Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.
Свойства:
1. a * b = b * a
2. (C* a)* b =C*(a * b)
3. a (b + c)= a * c + b * c;
4. 
5. (a, b) = 0 => 
6. ij = jk = kj = 0.
Теорема 1: в пространстве R3 в ортонормированном базисе 
:
Следствие из Т1: 
Для вектора 
: 
Механический смысл скалярного произведения:
Пусть 
- сила, которая перемещает тело в направлении вектора S (на длину 
) =>
13. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.
Векторное произведение вектора a на b - это c, который:
1) с перпендикулярно a и b;
2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах | c |=| a |*| b |*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.
Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:
1. i * j = k;
2. j * k = i;
3. k * i = j;
Свойства:
1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. (
)
2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.
Пункты: 1)условие коллиниарности: a // b => a * b =0;
2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= 
sin 
. Sтр=0,5* 
3)определение момента силы. | M |=| F |*| S |.
Теорема:
, 
Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.
Свойства:
|
|
|
1)смешанное произв не меняется при циклической перестановке его множителей.
(
.
2)смешанное произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей
3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.
Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов.
Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если 
>0 ( <0), то правая (левая) тройка векторов
2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0.
3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда= . Vтр=1/6().
Вычисление: 
, 
Прямая на плоскости.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной система координат разные виды ее уравнений.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Пусть: tg 
=k, 
, тогда: y = kx + b.
Число tg =k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку М(Хо,Уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к.
Уравнение с различными значениями к называют также уравнениеми пучка прямых с центром в точке М(Хо,Уо).
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
, уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1, у1) и М2(х2,у2)
Уравнение прямой в отрезках.
Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1(а,0), а ось Оу – в точке М2(0, b)
В этом случае уравнение примет вид: 
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
5. нормальное уравнение прямой: 
Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: 
Расстояние от точки до прямой: 
Плоскость в пространстве.
|
|
|
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:
Точка Мо(Хо, Уо), вектор 
2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
3. Нормальное уравнение плоскости: 
.
4. Угол между двумя плоскостями:
5. расстояние от точки до плоскости:
|
|
|
