 |
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
|
|
|
|
Функция 
называется бесконечно большой при 
, если для любого числа M>0 существует число 
= (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< 
, выполняется неравенство 
. Записывают 
. Коротко:
Функция называется бесконечно большой при 
, если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство . Коротко:
Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.
Бесконечно малая функция:
Функция называется бесконечно малой при , если 
: для любого числа 
>0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство 
.
Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Док-во:
Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.
Док-во:
Односторонние пределы.
число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = (
)>0 такое, что при 
выполняется неравенство 
.
Предел слева записывают так: 
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
|
|
|
Сравнение бесконечно малых.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:
1. если 
, то 
и 
называются бесконечно малыми одного порядка.
2. если 
то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .
3. если 
то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .
4. если 
не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.
Таковы же правила сравнения б.м.ф. при 
и 
.
Эквивалентные бесконечно малые:
| Sinx | x, при 
| ex - 1 | x,
|
| tgx | x,
| ax - 1 | x*lna,
|
| arcsinx | x,
| ln(1+x) | x,
|
| arctgx | x,
| loga(1+x) | x*logae
|
| 1-cosx |  ,
| (1+x)k - 1 | k*x, k>0,
|
Теоремы о пределах.
Теорема: если существует 
и 
и они равны между собой, то существует 
= .
Теорема: если 
, 
, то =>
1) 
2) 
3) 
Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть 
.
Примечание 2: 
Теорема: если , то функция g(x) = f(x) – a является б.м. при .
Следствие: если => в окрестности т. х0 g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .
Теорема: если 
и существуют конечные пределы, когда , => 
.
Теорема (о сжатой переменной): если 
и существуют конечные пределы 
=> существует: .
Теорема (о пределе сложной функции):
Пусть: х0, 
, U=f(x), 
.
Сама теорема:
Если задана сложная функция, 
и существуют конечные пределы 
и 
, то 
Первый замечательный предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел 
называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство:
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x< 
. На рисунке 
, дуга МВ численно равна центральному углу х, 
. Очевидно, имеем 
. На основании соответствующих формул геометрии получаем 
. Разделим неравенство на 
>0, Получим 1< 
|
|
|
Так как 
, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 
.
А если x<0 => 
, где –x>0 => 
|
|
|
