 |
Приложение 1. Математика относительности. Растяжение времени. Линейное сжатие
|
|
|
|
Приложение 1
Математика относительности
Это приложение предназначено для тех, кто хотел бы видеть и понимать алгебру и конкретные расчеты, стоящие за теми результатами, которые мы обсуждали в тексте.
В специальной теории относительности каждому событию соответствуют положение в пространстве x и время t. Чтобы не усложнять ситуацию, давайте считать остальные пространственные координаты – y и z – равными нулю. Обозначим координаты и время событий во второй системе координат, движущейся относительно первой со скоростью v, заглавными буквами X и T. Эйнштейн определил, что верные отношения x, t, X и T задаются преобразованиями Лоренца:
X = γ (x − vt )
T = γ (t − xv /c ² ),
где c – скорость света, а коэффициент замедления времени гамма представлен греческой буквой γ и задается как γ = 1/√ (1 − β ² ), где греческая буква β (бета) представляет отношение скорости объекта к скорости света (β = v /c ). По умолчанию в этих уравнениях считается, что особое событие (0, 0) в обеих системах отсчета имеет одинаковые координаты.
Хендрик Лоренц был первым, кто записал эти уравнения и показал, что Максвелловы уравнения электромагнетизма им удовлетворяют. Но только Эйнштейн сумел понять, что они представляют реальные изменения в поведении пространства и времени, а затем и применить их для вывода новых уравнений физики. Уравнения Максвелла при этом изменять не потребовалось, а вот уравнения Ньютона пришлось менять, и Эйнштейн заключил, помимо всего прочего, что масса движущихся объектов увеличивается (я говорю здесь о релятивистской массе, рассчитываемой как γ m ) и что E = mc ².
У преобразования Лоренца есть замечательное свойство: при решении его уравнений относительно x и t получаются уравнения одинакового вида, за исключением знака при скорости. (При решении используется довольно хитрая алгебра, и придется использовать приведенное выше определение γ, но попытайтесь. ) Вот результат:
|
|
|
x = γ (X + vT );
t = γ (T + Xv /c ² ).
В сравнении с предыдущими уравнениями изменение знака (с − на +) – это именно то, чего и следовало ожидать, поскольку по отношению ко второй СО первая система движется со скоростью − v. Тем не менее кажется поразительным, что уравнение имеет тот же вид. Я бы ни за что не догадался, что так получится. Этот факт – часть чуда теории относительности, согласно которой все инерциальные системы отсчета равно годятся для записи уравнений физики.
Растяжение времени
А теперь рассмотрим растяжение времени. Мы будем пользоваться той же терминологией, что и в примере с парадоксом близнецов, о котором шла речь в главе 4. Напомню, что Мэри там отправляется к далекой звезде, тогда как Джон остается дома. Назовем первую систему отсчета системой Джона, а вторую, которая движется относительно первой со скоростью v, системой Мэри. (Это их собственные системы отсчета. ) Рассмотрим два события: 1‑ й и 2‑ й дни рождения Мэри. Обозначим их время и место в системе Джона как x 1, t 1 и x 2, t 2. Место и время этих же событий в системе Мэри обозначим как X 1, T 1 и X 2, T 2.
А теперь подставим эти величины в уравнения Лоренца. Воспользуемся второй системой:
t 2 = γ (T 2 + X 2v /c ² );
t 1 = γ (T 1 + X 1v /c ² ).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
t 2 − t 1 = γ [T 2 − T 1 + (X 2 − X 1)v /c ² ].
Возраст Мэри, измеренный в системе отсчета Мэри, составит T 2 − T 1. В этой системе отсчета Мэри не движется, поэтому X 2 = X 1, то есть X 2 − X 1 = 0. Поэтому уравнение упрощается до вида:
t 2 − t 1 = γ (T 2 − T 1).
|
|
|
Можно записать это уравнение в еще более простом виде, если использовать обозначение Δ t = t 2 − t 1 и Δ T = T 2 − T 1. (Δ – заглавная греческая буква дельта, которая часто используется для обозначения разностей. Вслух Δ t читается как «дельта тэ». ) С использованием этого обозначения уравнение принимает вид:
Δ t = γ Δ T.
Это и есть растяжение времени. Промежуток времени между двумя событиями в системе отсчета Джона больше, чем промежуток времени между теми же событиями в системе отсчета Мэри, в γ раз. В примере с парадоксом близнецов, описанном в главе 4, коэффициент γ равнялся 2, так что Мэри, чтобы постареть на 8 лет, потребуется (в системе отсчета Джона) 16 лет.
Линейное сжатие
А теперь посмотрим на линейное сжатие, или изменение длины. При измерении расстояния между объектами в любой системе отсчета мы отмечаем положение (координаты) объектов в один и тот же момент времени и вычитаем одно из другого. Расстояние между двумя одновременными событиями (t 2 = t 1) в собственной системе отсчета Джона составляет x 2 − x 1. Применим первую систему уравнений Лоренца к этим двум событиям:
X 2 = γ (x 2 − vt 2);
X 1 = γ (x 1 − vt 1).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
X 2 − X 1 = γ [x 2 − x 1 − v (t 2 − t 1)].
Поскольку для этого примера два события одновременны в системе отсчета Джона, t 2 = t 1, множитель (t 2 − t 1) = 0. При подстановке этого значения уравнение упрощается до вида:
X 2 − X 1 = γ (x 2 − x 1).
Расстояние между двумя событиями в собственной системе отсчета Джона составляет x 2 − x 1; обозначим эту величину Δ x. Длина того же объекта в собственной системе отсчета Мэри (в которой объект покоится) составляет X 2 − X 1; обозначим это Δ X. Получаем уравнение:
Δ x = Δ X /γ.
Это и есть уравнение линейного сжатия. Если длина объекта в собственной системе отсчета составляет Δ X, то при измерении в другой системе отсчета эта длина изменится в 1/γ раз. (Обратите внимание: γ всегда больше 1, поэтому длина, то есть линейный размер объекта уменьшится. )
|
|
|
